Question

Треугольник ABC равнобедренный (AB=BC),DF параллельно AC,CF параллельно AB,AB=13,BD=7,AC=10. 1)Докажите, что треугольник ADE=треугольникуCED. 2)Докажите, что треугольник ECF подобен треугольнику ABC 3)Найдите EF. 4)Найдите высоту треугольника ABC,опущенную на боковую сторону. 5)Найдите отношение площадей треугольников ADE и DCF.

Answer 1

1) Четырехугольник ADEC - трапеция (DE ║ AC). ∠BAC = ∠BCA ⇒ трапеция равнобедренная, значит, AD = CE = BA - BD = 6.
В трапеции ∠ВАС = ∠BCA  ⇒ и ∠ADE = ∠CED.
ΔADE = ΔCED по двум сторонам и углу между ними (AD = CE, DE - общая, ∠ADE = ∠CED).
2) AD║CF, AC║DF ⇒ ADFC - параллелограмм, значит, ∠DAC = ∠CFE.
∠ACE = ∠FEC как накрест лежащие углы при пересечении AC║DE секущей СЕ. Значит, ΔECF подобен ΔАВС по двум углам.
3) Т.к.  ΔECF подобен ΔАВС, то EF/AC = CE/BC
EF/10 = 6/13  ⇒ EF = 60/13
4) Пусть h - высота треугольника АВС, опущенная на боковую сторону.
Тогда Sabc = 13h/2 = √(p(p - a)(p - b)(p - c), где a, b, c - стороны треугольника АВС, р - его полупериметр
13h/2 = √(18 · 5 · 5 · 8)
13h/2 = √(9 · 2 · 5 · 5 · 4 · 2) = 3 · 5 · 4 = 60
h =120/13
5) AC║DF, значит, расстояние от точки А до DE  и от точки С до DF одинаковы, т.е. ΔADE и ΔDCF имеют одинаковые высоты, опущенные к основаниям DE и DF соответственно. Значит, площади этих треугольников относятся как длины этих оснований.
Sade/Sdcf = DE/DF
DF = AC = 10 как противолежащие стороны параллелограмма,
DE = DF - EF = 10 - 60/13 = 70/13
Sade/Sdcf = (70/13) / 10 = 7/13

Answer 2

Давайте рассмотрим каждую часть вашего вопроса по порядку:

1. Докажем, что треугольник ADE равен треугольнику CED.

Из условия, AB=BC, BD=7, и AC=10. Так как треугольник ABC равнобедренный, то он также равносторонний, и AB=BC=13. Это означает, что AD=DC=6. Также, у нас есть параллельные линии DF и AC, а также CF и AB. Поэтому углы ADE и CED равны, так как они являются соответственными углами. Следовательно, треугольники ADE и CED равны по двум сторонам и углу между ними (по стороне DE и двум углам AED и CED).

2. Докажем, что треугольник ECF подобен треугольнику ABC.

Так как у нас есть параллельные линии CF и AB, то углы FCE и CAB равны, так как они являются соответственными углами. Также, угол CEF равен углу ABC, так как они оба являются внутренними углами треугольников ABC и ECF. Таким образом, треугольники ECF и ABC подобны по углам и сторонам.

3. Чтобы найти длину EF, мы можем использовать подобие треугольников ECF и ABC. Мы знаем, что сторона AB равна 13, а сторона CF соответствует EF в подобных треугольниках. Поэтому мы можем использовать пропорцию:

EF / CF = AB / AC

EF / CF = 13 / 10

Теперь мы можем решить эту пропорцию:

EF = (13 / 10) * CF

4. Чтобы найти высоту треугольника ABC, опущенную на боковую сторону, мы можем использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике AHB, где H - это точка пересечения высоты с AB:

AH^2 + HB^2 = AB^2 AH^2 + (AB / 2)^2 = AB^2 AH^2 + 13^2 / 4 = 13^2 AH^2 = 13^2 - 13^2 / 4 AH^2 = 13^2 * (1 - 1/4) AH^2 = 13^2 * 3/4 AH = 13 * sqrt(3) / 2

Таким образом, высота треугольника ABC равна 13 * sqrt(3) / 2.

5. Чтобы найти отношение площадей треугольников ADE и DCF, мы можем использовать отношение их высот к общей базе. Площадь треугольника равна (основание * высота) / 2.

Площадь треугольника ADE: S_ADE = (DE * AH) / 2 = (6 * (13 * sqrt(3) / 2)) / 2 = 39 * sqrt(3)

Площадь треугольника DCF: S_DCF = (CF * HB) / 2 = (10 * (13 / 2)) / 2 = 65

Отношение площадей: S_ADE / S_DCF = (39 * sqrt(3)) / 65

Таким образом, отношение площадей треугольников ADE и DCF равно (39 * sqrt(3)) / 65.