Question

Вписанная в прямоугольный треугольник окружность делит точкой касания гипотенузу на отрезки 6 и 20 . Найдите площадь треугольника

Answer 1

См. рисунок в файле
решать можно разными способами.
например, "в лоб" - там вычислять нужно
1) по теореме Пифагора
   (r+6)²+(r+20)²=(6+20)²  Находим из этого уравнения r, потом катеты, потом площадь. Долго и муторно
2) метод "оптимальный"
     S=(r+6)*(r+20)/2=(r²+26r+120)/2  - обращаем внимание на r²+26r

(r+6)²+(r+20)²=(6+20)²  раскрывая скобки и приводя, получаем
r²+26r=120
эти 120 подставляем в S
S=(r²+26r+120)/2 =(120+120)/2=12

Ну и третий - самый простой и "для ленивых"  (доказывается легко)
Если точка касания вписанн. окр. делит гипотенузу на отрезки, то площадь треугольника равна произведению длин этих отрезков., т.е 6*20=120
 

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами прямоугольных треугольников и окружностей. Давайте разберемся подробно.

Шаг 1: Построение прямоугольного треугольника и вписанной окружности

Дано, что вписанная окружность делит гипотенузу на отрезки длиной 6 и 20. Построим прямоугольный треугольник ABC, где AC - гипотенуза, BC - катет, а AB - второй катет. Также построим вписанную окружность, касающуюся гипотенузы в точке D.

Шаг 2: Использование свойств вписанных окружностей и прямоугольных треугольников

Мы знаем, что касательная к окружности извне круга равна по длине касательной, проведенной из точки касания. Таким образом, BD = 6 и CD = 20. Также известно, что касательная к окружности, проведенная из точки касания, делит касательную на две равные части.

Шаг 3: Нахождение площади треугольника

Чтобы найти площадь треугольника ABC, мы можем воспользоваться формулой для площади прямоугольного треугольника: S = 0.5 * a * b, где a и b - катеты треугольника. В нашем случае, мы знаем, что BD = 6 и CD = 20, таким образом, мы можем найти площадь треугольника ABC.

Давайте рассчитаем площадь треугольника ABC.

Решение:

Площадь треугольника ABC можно найти как половину произведения длин катетов:

S = 0.5 * BD * CD

S = 0.5 * 6 * 20

S = 60

Ответ:

Площадь треугольника ABC равна 60 квадратным единицам.