Question

Помогите пожалуйста. Хорда AD окружности пересекает два взаимо перпендикулярных радиуса этой окружности в точках B и C, причём точка B лежит между точками A и C. Известно, что AB:BC:CD=3:4:5, а радиус окружности равен 3√13. Найдите длину хорды AD.

Answer 1

Если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

3x * 9x = (r-a)(r+a) 
5x * 7x = (r-b)(r+b)

16x^2 = a^2 +b^2 (по т. Пифагора)

27x^2 = r^2 - a^2
35x^2 = r^2 - b^2
----------------------------
62x^2 = 2r^2 -(a^2 +b^2) <=>
62x^2 = 2r^2 -16x^2 <=>
78x^2 = 2r^2 <=> 
x = r/√39 = 3√13/√39 = √3

AD= 12x =12√3

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему о степени точки в окружности.

Известно, что радиус окружности равен 3√13. Пусть O - центр окружности, тогда OA = OB = OC = 3√13.

Также известно, что AB:BC:CD=3:4:5, и пусть эти отношения равны x:4x:5x, где x - некоторый множитель. Тогда длины отрезков AB, BC и CD будут равны:

AB = 3√13 * x BC = 4 * 3√13 * x = 12√13 * x CD = 5 * 3√13 * x = 15√13 * x

Теперь нам нужно найти длину хорды AD. Заметим, что AD = AB + BC + CD:

AD = 3√13 * x + 12√13 * x + 15√13 * x = (3 + 12 + 15)√13 * x = 30√13 * x

Теперь нам нужно найти значение x. Мы знаем, что сумма длин отрезков AB, BC и CD равна длине диаметра окружности, которая равна 2 * радиусу. То есть:

AB + BC + CD = 2 * 3√13

Подставим значения AB, BC и CD:

3√13 * x + 12√13 * x + 15√13 * x = 2 * 3√13

Упростим уравнение:

30√13 * x = 6√13

Теперь делим обе стороны на 6√13:

x = 6√13 / (30√13) = 1/5

Теперь мы знаем значение x, и можем найти длину хорды AD:

AD = 30√13 * x = 30√13 * (1/5) = 6√13

Таким образом, длина хорды AD равна 6√13.