Question

Доведіть, що довільна площина, яка проходить через середи двох мимобіжних ребе тетраедра, ділить його об'єм навпілРусский_Докажите, что произвольное плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся ребе тетраэдра, делит его объем пополам

Answer 1

Пусть М и К - середины ребер АВ и СD тетраэдра ABCD.
Пусть плоскость, проходящая через М и К, пересекает ребра АD и ВС в точках  L и N.
 Плоскость DMC делит тетраэдр на 2 части равного объема, поэтому достаточно проверить, что равны объемы тетраэдров  DKLM и CKNM.
Объем тетраэдра СКВМ равен 1/4 объема тетраэдра ABCD, а отношение объемов тетраэдров СКВМ и CKNM равно ВС:СN. Аналогично отношение 1/4 объема тетраэдра ABCD к объему тетраэдра DKLM равно AD:DL.
ВС:СN=AD:DL

Answer 2

Для доказательства этого утверждения рассмотрим тетраэдр ABCD и плоскость, проходящую через середины ребер AB и CD, обозначим их как M и N соответственно.

Пусть точка E - середина ребра AD, а точка F - середина ребра BC. Тогда рассмотрим треугольники AEF и CDF.

Так как точка E - середина ребра AD, то EM = MF, аналогично, так как точка F - середина ребра BC, то FN = ND.

Таким образом, треугольники AEF и CDF равнобедренные, и их площади равны. Поэтому объемы пирамид AEFB и CDFB равны, так как их основания (треугольники AEF и CDF) равны, а высоты равны, так как плоскость M и N проходят через середины ребер.

Следовательно, плоскость, проходящая через середины ребер тетраэдра, действительно делит его объем пополам.