Question

АЕ - биссектрисса треугольника АВС. известно, что АЕ=ЕС. найдите улы треугольника АВС, если АС=24В

Answer 1

АЕ = ЕС, значит ΔAEC - равнобедренный.

∠ЕАС = ∠ЕСА (свойство равнобедренного треугольника), обозначим их α.

Пусть АВ = а, тогда АС = 2а.

Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Тогда

ВЕ:ЕС = АВ:АС = 1:2

Пусть ВЕ = х, тогда ЕС = EA = 2х.

В ΔЕАС по теореме косинусов для угла ЕАС:

cosα = (AE² + AC² - EC²)/(2AE·AC)

cosα = (4x² + 4a² - 4x²)/(8ax) = a/(2x)

В ΔВАЕ по теореме косинусов для угла ВАЕ:

cosα = (AB² + AE² - BE²)/(2AB·AE)

cosα = (a² + 4x² - x²)/(4ax) = (a² + 3x²)/(4ax)

(a² + 3x²)/(4ax) = a/(2x)

a² + 3x² = 2a²

a² = 3x²

a = x√3

cosα = a/(2x) = x√3/(2x) = √3/2 ⇒ α = 30°

∠ВСА = 30°

∠ВАС = 2∠ВСА = 60°  

∠АВС = 180° - ∠ВСА - ∠ВАС = 90°

Ответ: 30°, 60°, 90°.

Answer 2

Давайте рассмотрим треугольник ABC, где AE является биссектрисой и AE = EC. Также, у нас есть информация, что AC = 24B.

Давайте обозначим длину AB как x и длину BC как y. Тогда, по условию, AC = 24B, и мы можем записать:

AC = AB + BC 24B = x + y

Теперь мы знаем, что AE является биссектрисой треугольника ABC, и AE = EC. Таким образом, мы можем разделить AC на две части следующим образом:

AE/EC = AB/BC

Поскольку AE = EC, мы имеем:

1 = AB/BC

Теперь мы имеем два уравнения:

1. 24B = x + y
2. 1 = AB/BC

Мы можем использовать уравнение 2) для выразить AB через BC:

AB = BC

Теперь мы можем подставить это значение AB в уравнение 1):

24B = BC + y

Теперь у нас есть система двух уравнений с двумя неизвестными B и C:

1. 24B = BC + y
2. 1 = BC/BC

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Умножим оба уравнения на BC:

1. 24B = BC + y
2. BC = BC

Теперь мы можем выразить y из уравнения 1):

y = 24B - BC

Затем, подставим BC = BC из уравнения 2) в уравнение 1):

24B = BC + 24B - BC

BC и -BC сокращаются:

24B = 24B

Таким образом, любое значение B подходит, и угол ABC будет определяться этим значением. Угол ABC будет равен арктангенсу (тангенсу обратному к B), то есть:

ABC = arctan(1/B)

Таким образом, угол ABC зависит от значения B, и вы можете найти его, если знаете конкретное значение B.