Question

В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся его в точках L, M и N. Докажите, что треугольник KLM - всегда остроугольный.

Answer 1

АВС - произвольный треугольник. KLM - треугольник, образованный точками касания вписанной в треугольник АВС окружности его сторон.
Точка О - центр вписанной окружности в тр-ник АВС и одновременно описанной около тр-ка KLM одного диаметра.
Точка О описанной окружности всегда находится внутри тр-ка KLM, что свидетельствует о том, что тр-ник KLM всегда остроугольный.

Answer 2

Для доказательства, что треугольник KLM всегда остроугольный, мы можем использовать следующие факты и свойства:

1. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках L, M и N. Это означает, что отрезки AL, BM и CN являются радиусами окружности и, следовательно, равны между собой.

2. Рассмотрим треугольник KLM. Поскольку треугольник ABC остроугольный (доказательство этого факта может быть выполнено отдельно), углы треугольника ABC меньше 90 градусов. Радиусы окружности, касающейся сторон треугольника ABC, перпендикулярны соответствующим сторонам.

3. Таким образом, отрезки KL, KM и KN также являются радиусами окружности, касающейся сторон треугольника KLM. Поскольку радиусы окружности равны между собой (по свойству вписанной окружности), отрезки KL, KM и KN также равны между собой.

4. Предположим, что треугольник KLM не является остроугольным. Это означает, что один из его углов больше или равен 90 градусам. Пусть, например, угол KLM равен или больше 90 градусам.

5. Из свойства окружности, касающейся сторон треугольника KLM, следует, что отрезки KL, KM и KN являются радиусами этой окружности. Если угол KLM больше или равен 90 градусам, то отрезок KM будет перпендикулярен стороне LM.

6. Однако, это противоречит свойству вписанной окружности, где радиусы окружности, касающейся сторон треугольника, перпендикулярны соответствующим сторонам.

7. Таким образом, предположение о том, что треугольник KLM не является остроугольным, неверно. Значит, треугольник KLM всегда будет остроугольным.

Это доказывает, что треугольник KLM всегда остроугольный при условии, что в треугольник ABC вписана окружность, касающаяся его сторон в точках L, M и N.