Question

В треугольнике ABC точка М – точка пересечения медиан. Докажите, что ВекторKM= 1/3(вектораKA+вектораKB+вектораKC).​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Пусть N середина стороны АВ, тогда MN = 1/3 CN

KA + KB = 2KN

KC = KN + NC = KN + 3MN

KA + KB + KC = 3KN + 3MN = 3KM     чтз

или KM = 1/3 (KA + KB + KC)

Answer 2

Для начала, давайте вспомним, что медианы треугольника делят друг друга в отношении 2:1. Это означает, что точка М, которая является точкой пересечения медиан треугольника ABC, делит каждую медиану в отношении 2:1.

Пусть $\overrightarrow{KA}$, $\overrightarrow{KB}$ и $\overrightarrow{KC}$ - это векторы, направленные от точки $K$ к точкам $A$, $B$ и $C$ соответственно.

Тогда вектор $\overrightarrow{KM}$ (вектор, направленный от точки $K$ к точке $M$) можно представить как сумму двух векторов, например, $\overrightarrow{KA}$ и $\overrightarrow{AM}$. Однако, так как точка $M$ делит вектор $\overrightarrow{KA}$ в отношении 2:1, вектор $\overrightarrow{AM}$ равен $\frac{1}{3}$ от вектора $\overrightarrow{KA}$. Точно так же для векторов $\overrightarrow{KB}$ и $\overrightarrow{KC}$. Таким образом, вектор $\overrightarrow{KM}$ можно записать как:

$$\overrightarrow{KM} = \overrightarrow{KA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{KA} + \overrightarrow{KB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{KB} + \overrightarrow{KC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{KC}.$$

Теперь сгруппируем векторы с одинаковыми направлениями:

$$\overrightarrow{KM} = \left(1 + \frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{3}\right) \overrightarrow{KA} + \left(1 + \frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{3}\right) \overrightarrow{KB} + \left(1 + \frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{3}\right) \overrightarrow{KC}.$$

Вычислим коэффициент при векторе $\overrightarrow{KA}$ (он равен сумме коэффициентов при векторах $\overrightarrow{KB}$ и $\overrightarrow{KC}$):

$$1 + \frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{3} = 3.$$