Question

В треугольнике ABC со сторонами АВ = корень 14, BC = 2, через вершину В и середину стороны ВС (точку D) проведена окружность, касающаяся стороны AC и пересекающая АВ в точке Е. Найти отношение AE: EB, если ED - диаметр окружности. Помогите пожалуйста ​

Answer 1

Поскольку вписанный угол B опирается на диаметр, то ∠B = 90°.

D - середина BC, следовательно, BD = CD = BC/2 = 1.

Из прямоугольного треугольника ABC по т. Пифагора :

$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{14+4}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$

По теореме о касательной и секущей, мы имеем:

$CM^2=CD\cdot BC=1\cdot 2~~~\Rightarrow~~~ CM=\sqrt{2}$

$AM^2=AE\cdot AB\\ \\ (AC-CM)^2=AE\cdot AB\\ \\ (3\sqrt{2}-\sqrt{2})^2=AE\cdot \sqrt{14}\\ \\ 4\cdot 2=AE\sqrt{14}\\ \\ AE=\dfrac{8}{\sqrt{14}}=\dfrac{8\sqrt{14}}{14}=\dfrac{4\sqrt{14}}{7}$

Тогда $BE=AB-AE=\sqrt{14}-\dfrac{4\sqrt{14}}{7}=\dfrac{7\sqrt{14}-4\sqrt{14}}{7}=\dfrac{3\sqrt{14}}{7}$

Следовательно, $AE:EB=\dfrac{4\sqrt{14}}{7}:\dfrac{3\sqrt{14}}{7}=4:3$

Ответ: 4 : 3.

Answer 2

Давайте разберем эту задачу. Мы знаем, что ED - диаметр окружности, и она касается стороны AC треугольника ABC. Значит, точка E - точка касания окружности с стороной AC. Также, так как D - середина стороны BC, то DE - радиус окружности.

Теперь давайте обратим внимание на треугольник ADE. Он прямоугольный, так как DE - радиус окружности, и, так как окружность проходит через вершину B и касается стороны AC, то угол EDB прямой (ED - радиус окружности, BD - радиус, проведенный к точке касания).

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник ADE, где AD - половина стороны AC (половина корня из 14/2 = корень из 7), ED - радиус окружности (половина диаметра), и мы хотим найти отношение AE к EB.

Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора в треугольнике ADE:

AE^2 + DE^2 = AD^2

AE^2 + (ED/2)^2 = (корень из 7)^2

AE^2 + (ED^2/4) = 7

Теперь у нас есть два уравнения, которые мы можем использовать. Первое - это то, что ED - радиус окружности (или половина диаметра):

ED = EB + BD ED = EB + (корень из 7)/2

Теперь мы можем подставить это значение во второе уравнение:

AE^2 + [(EB + (корень из 7)/2)^2]/4 = 7

Упростим это уравнение:

AE^2 + [EB^2 + EB*(корень из 7) + (7/4)]/4 = 7

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дробей:

4AE^2 + EB^2 + EB(корень из 7) + 7/4 = 28

4AE^2 + EB^2 + EB(корень из 7) = 28 - 7/4

4AE^2 + EB^2 + EB(корень из 7) = 111/4

Теперь мы хотим найти отношение AE к EB, поэтому выразим AE через EB:

4AE^2 = 111/4 - EB^2 - EB(корень из 7)

AE^2 = (111/4 - EB^2 - EB*(корень из 7))/4

AE = корень из ((111/4 - EB^2 - EB*(корень из 7))/4)

Теперь мы можем выразить отношение AE к EB:

AE/EB = корень из ((111/4 - EB^2 - EB*(корень из 7))/4)/EB

AE/EB = корень из (111/4 - EB^2 - EB*(корень из 7))/4*EB

AE/EB = корень из (111/4 - EB*(1 + корень из 7))/4*EB

Это и есть искомое отношение AE к EB.