Question

В треугольнике ABC угол C = 73°, угол B = 77°, отрезок BM – высота треугольника. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если радиус окружности, описанной около треугольника MBC равен 6 см.

Answer 1

Дано: ΔАВС, ∠В= 77°, ∠С= 73°, ВМ – высота, ВМ⟂АС, т.О – центр окружности, опис. около ΔАВС, т.О1 – центр окружности, опис. около ΔBMC, R1=OC1= 6 см.

Найти: ОВ.

Решение.

1) Рассмотрим ΔВМС. По условию он прямоугольный (поскольку ВМ⟂АС), а это значит, что диаметр окружности, описанной около этого треугольника, будет равен гипотенузе. Т.е. d=BC, а отрезки ВО1 и О1С являются радиусами.

ВО1=О1С= 6 см.

А диаметр ВС= 2•ВО1= 2•6= 12 см.

2) Найдем ∠А.

Сумма углов треугольника равна 180°, значит, в ΔАВС:

∠А= 180°–∠В–∠С= 180°–77°–73°= 30°.

3) ∠А=30° => данный угол является вписанным в окружность с центром О.

А ∠ВОС — центральный угол окружности с центром О. При чем углы ∠А и ∠ВОС опираются на одну и ту же дугу.

4) Вспоминаем свойство: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Значит, ∠А= ½∠ВОС => ∠ВОС= 2∠А.

∠ВОС= 2•30°= 60°.

5) Центральный угол ВОС равен 60°. Треугольник ВОС равнобедренный, ОВ=ОС (радиусы), угол при вершине 60° => ΔВОС равносторонний.

Поскольку ВОС – равносторонний треугольник, то ОВ=ОС=ВС= 12 см.

Радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 12 см.

Ответ: 12 см.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства описанных окружностей треугольников.

Для начала, давайте найдем угол A в треугольнике ABC, используя то, что сумма углов треугольника равна 180 градусов:

Угол A = 180° - угол B - угол C Угол A = 180° - 77° - 73° Угол A = 30°

Теперь мы можем рассмотреть треугольник MBC. Мы знаем, что радиус описанной окружности для него равен 6 см. Мы также можем найти угол MBC, который равен половине угла B в треугольнике ABC, так как BM - высота, проведенная из вершины B, делит угол B пополам:

Угол MBC = 0.5 * угол B = 0.5 * 77° = 38.5°

Теперь мы можем использовать свойства синуса для нахождения стороны MB в треугольнике MBC:

sin(угол MBC) = (противолежащая сторона MB) / (гипотенуза MC) sin(38.5°) = MB / 6 см

Теперь найдем MB:

MB = 6 см * sin(38.5°)

MB ≈ 3.83 см

Теперь у нас есть сторона MB, и мы можем использовать формулу описанной окружности для треугольника ABC:

Радиус описанной окружности для треугольника ABC (R) = (a * b * c) / (4 * П * S)

где a, b и c - стороны треугольника ABC, S - его площадь.

Мы уже нашли сторону MB (a ≈ 3.83 см), и мы можем найти стороны AC и BC, используя те же самые свойства синуса:

sin(угол A) = (противолежащая сторона AC) / BC sin(30°) = (AC) / BC

Так как у нас есть два уравнения с тремя неизвестными (AC, BC и S), мы также можем использовать формулу для площади треугольника:

S = (1/2) * AC * BC * sin(угол C)

Теперь у нас есть система уравнений:

1. sin(30°) = (AC) / BC
2. S = (1/2) * AC * BC * sin(73°)

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти AC и BC. После того как мы найдем AC и BC, мы сможем найти радиус описанной окружности для треугольника ABC (R) с использованием формулы описанной окружности.

Решив систему уравнений, вы найдете значения AC и BC, а затем сможете найти R.