Question

Задание 4. Площадь равнобедренного треугольника равна 192см2, а радиус вписанной окружности – 6 см. Найдите стороны треугольника, если его основание на 4 см больше боковой стороны.

Answer 1

Дано: ΔABC - равнобедренный, АВ=ВС, Sabc= 192 см², АС=АВ+4, окружность, впис. в ΔАВС, OR - радиус, OR= 6 см

Найти: АВ, ВС, АС.

Решение.

Пусть АВ=ВС= х см. По условию основание на 4 см больше, чем боковая сторона, значит, АС= х+4.

Площадь треугольника равна произведению полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

S= p•r, где S - площадь треугольника, p - его полупериметр, r - радиус вписанной окружности.

Находим периметр ΔАВС.

Р= АВ+ВС+АС= х+х+х+4= 3х+4.

Полупериметр равен соответственно р= (3х+4)/2.

S= p•r;

192= (3x+4)/2 •6;

192= (3х+4)•3;

192= 9х+12;

9х= 192–12;

9х= 180;

х= 20 (см)

Значит, АВ=ВС= 20 см, АС= х+4= 20+4= 24 см.

Ответ: 20 см, 20 см, 24 см.

Рисунок фактически здесь вообще не нужен, однако, если Вам так легче это представить...

Answer 2

Площадь треугольника равна произведению полупериметра основания на радиус вписанной окружности.   Стороны связаны соотношением - боковые стороны по х см, а основание х+4, полупериметр равен 1.5х+2=192/6; 1.5х=30, откуда х=20, значит, боковые стороны по 20 см, а основание 20+4=24/см/

Answer 3

Пусть $a$ - длина боковой стороны равнобедренного треугольника, а $b$ - длина основания.

Площадь равнобедренного треугольника можно выразить двумя способами:

1. По формуле $S = \frac{1}{2}bh$, где $b$ - длина основания, $h$ - высота.

2. По формуле Герона $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - b)}$, где $p$ - полупериметр треугольника.

Так как треугольник равнобедренный, то высота проведена из вершины треугольника (где угол при вершине) к середине основания (где углы при основании).

Поэтому, $h$ можно выразить через $a$ и $b$: $h = \sqrt{a^2 - (\frac{b}{2})^2}$.

Теперь у нас есть два уравнения:

1. $\frac{1}{2}bh = 192$ - площадь треугольника.
2. $a = b + 4$ - основание на 4 см больше боковой стороны.

Также известно, что радиус вписанной окружности равен 6 см. Радиус вписанной окружности связан с сторонами треугольника следующим образом: $r = \frac{S}{p}$, где $r$ - радиус вписанной окружности, $S$ - площадь треугольника, $p$ - полупериметр.

Решим систему уравнений:

1. $\frac{1}{2}bh = 192$
2. $a = b + 4$
3. $r = 6$

Сначала найдем $a$ и $b$, а затем проверим, что треугольник существует (неравенство треугольника).

Давайте приступим к решению.