Question

В прямоугольной трапеции основания равны 5 и 7,4. Меньшая диагональ есть биссектрисой тупого угла. Вычислить периметр трапеции

Answer 1

Ответ:

26.8

Объяснение:

Выполним рисунок. (см. Рис. 1)

Прямоугольная трапеция ABCD, меньшее основание BC=5, большее основание DA=7.4,  AC -биссектриса ∠С, AB⊥BC, AB⊥DA, DA║BC.

∠ACD=∠ВСА т.к. АС- биссектриса,

∠DAC=∠ВСА, как накрест лежащие, значит  ∠ACD=∠DAC=∠ВСА.

ΔACD-равнобедренный, т.к. ∠ACD=∠DAC. Тогда AD=CD=7.4.

Выполним дополнительное построение (см. Рис. 2). Проведем высоту DO в ΔACD. Т.к. ΔACD-равнобедренный, то DO также является медианой, значит, AO=OC.

Пусть АО=х, тогда АС=2х.

ΔАВС ~ ΔDAO по двум углам ∠DAC=∠ВСА и ∠АВС=∠AOD=90°.

Тогда $\frac{AD}{AO} =\frac{AC}{BC} \Rightarrow \frac{7.4}{x} =\frac{2x}{5} \Rightarrow x^2=18.5$

Из прямоугольного ΔАВС найдем катет АВ:

$AB=\sqrt{AC^2-BC^2} =\sqrt{4x^2-5^2} =\sqrt{4*18.5-25} =7$.

Значит в трапеции ABCD: AB=7, BC=5, CD=7.4, DA=7.4.

$P_A_B_C_D=7+5+7.4+7.4=26.8$

Answer 2

Чтобы вычислить периметр трапеции, нам нужно знать длины всех её сторон.

Обозначим длину меньшей диагонали за $d$. Поскольку меньшая диагональ является биссектрисой тупого угла, мы можем использовать свойство трапеции, что биссектриса тупого угла делит основание трапеции пропорционально.

Используя это свойство, мы можем составить уравнение:

$$\frac{d}{7.4} = \frac{d - x}{5},$$

где $x$ - половина разности оснований (то есть $x = \frac{7.4 - 5}{2} = 1.2$).

Решив это уравнение, найдем $d$:

$$d = \frac{7.4 \times 1.2}{7.4 - 1.2} \approx 1.577\text{ (округлено до тысячных)}.$$

Теперь мы можем найти боковые стороны трапеции, используя теорему Пифагора:

$$a^2 = d^2 - \left(\frac{b_2 - b_1}{2}\right)^2,$$

где $a$ - боковая сторона трапеции, $d$ - меньшая диагональ, $b_1$ и $b_2$ - основания.

Для $b_1 = 5$:

$$a_1^2 = 1.577^2 - \left(\frac{7.4 - 5}{2}\right)^2,$$

$$a_1 \approx 1.539\text{ (округлено до тысячных)}.$$

Для $b_2 = 7.4$:

$$a_2^2 = 1.577^2 - \left(\frac{7.4 - 7.4}{2}\right)^2,$$

$$a_2 \approx 1.577\text{ (округлено до тысячных)}.$$

Теперь мы можем найти периметр трапеции:

$$P = b_1 + b_2 + a_1 + a_2 = 5 + 7.4 + 1.539 + 1.577 \approx 15.516\text{ (округлено до тысячных)}.$$