Question

O - точка перетину бісектрис трикутника ABC, ∠AOB = ∠COB. Знайдіть найменший кут трикутника ABC, якщо ∠ABC y три рази менший за ∠AOC .

Answer 1

О -  точка пересечения биссектрис треугольника АВС.  

∠AOB = ∠COB. Найти наименьший угол треугольника ABC, если ∠ABC в три раза меньше  ∠AOC

Ответ: 36°

Объяснение:  

ВО- биссектриса угла В, ∠AOB =∠COB (дано)⇒

∆ АОВ=∆ СОВ по двум углам при общей стороне ВО ( 2-й признак). ⇒

∠ВОА=∠ВОС.

 Т.к. АО и СО - биссектрисы, то и ∠ВАС=∠ВСА. как состоящие из равных половинок. ⇒ ∆ АВС равнобедренный.

Примем ∠ОАС и ∠ОСА равными α. Тогда ∠АОС=180°-2α.

∠АВС=180°-4 α.

Составим уравнение согласно  условию:

∠ АОС=3∠ АВС⇒

180°-2α=3(180°-4α). Произведя необходимые вычисления, получим 10α=360°⇒ α=36°

Угол АВС=180°-4•36°=36°.

Углы А и С вдвое больше α, они равны по 72°.

Следовательно, наименьший угол  ∆ АВС - угол АВС=36°

Answer 2

Давайте розглянемо дану ситуацію та намагатимемось знайти найменший кут трикутника ABC.

1. Зауважимо, що ∠AOB = ∠COB, оскільки O - точка перетину бісектрис, і вони розділяють кут B на два рівних кута.

2. Зауважимо, що ∠AOC також ділиться на два рівних кута, оскільки O - точка перетину бісектрис.

3. Згідно з умовою, ∠ABC дорівнює трьома разами меншому за ∠AOC. Позначимо цей кут як x.

4. Тепер ми можемо записати рівності:

∠AOB = ∠COB (рівність бісектрис) ∠AOC = 2x (за умовою) ∠BOC = 2x (рівність бісектрис)

5. За властивістю кутів на пласкій поверхні сума всіх кутів у трикутнику дорівнює 180 градусів, тобто:

∠AOB + ∠BOC + ∠COA = 180 градусів

Підставимо значення з наших рівностей:

(∠COB) + (2x) + (2x) = 180 градусів

6. Послідовно розв'язавши це рівняння, ми можемо знайти значення x:

∠COB + 4x = 180 градусів

∠COB = 180 градусів - 4x

Тепер, щоб знайти найменший кут трикутника ABC, нам потрібно знайти мінімальне значення x.

7. Мінімальне значення x відбудеться, коли ∠COB буде максимальним. Величина ∠COB буде максимальною, коли точка O розташована якнайдалі від сторінки BC. Це відповідає ситуації, коли O - центр описаного кола трикутника ABC.

8. Тепер, ми можемо використати свій геометричний знання, щоб визначити, як знайти мінімальний кут трикутника ABC. У правильному трикутнику (в якому всі кути рівні), мінімальний кут рівний 60 градусів.

Отже, мінімальний кут трикутника ABC дорівнює 60 градусів.