Question

окружность с центром О,вписана в равнобедренный треугольник АВС с основанием АС,касается сторон ВС в точке К,причем СК:ВК=5:8.Найдите длину отрезка ВО,если площадь треугольника АВС равна 540

Answer 1

Ответ:

По условию ∆ АВС – равнобедренный, АВ = ВС → СК : ВК = АМ : ВМ = 5 : 8

Значит, CK = АМ = 5х , ВК = ВМ = 8х

ВМ = ВК = 8х , АМ = АЕ = 5х , СК = СЕ = 5х – как отрезки касательных к окружности

AB + BC + AC = P abc

8x + 5x + 8x + 5x + 5x + 5x = 72

36x = 72

x = 2

Из этого следует, что ВМ = ВК = 16 , АМ = АЕ = 10 , СК = СЕ = 10 → АВ = ВС = 26 , АС = 20

Рассмотрим ∆ АВЕ (угол АЕВ = 90°):

По теореме Пифагора:

АВ² = АЕ² + ВЕ²

ВЕ² = 26² – 10² = 676 – 100 = 576

ВЕ = 24

S abc =( 1/2 ) × AC × BE = ( 1/2 ) × 20 × 24 = 240

ОТВЕТ: S abc = 240

Объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим радиус окружности как $r$. Так как окружность вписана в равнобедренный треугольник $ABC$, то длины отрезков $AB$, $AC$, и $BC$ равны.

Также, давайте обозначим $VK$ как $5x$, тогда $CK$ будет $8x$. Сумма длин $CK$ и $VK$ равна длине основания $BC$, следовательно:

$5x + 8x = 2r$ $13x = 2r$ $(1)$

Площадь треугольника $ABC$ можно найти по формуле:

$Площадь = \frac{1}{2} \times основание \times высота$

В данной задаче высота равна радиусу окружности, то есть $r$. Площадь треугольника равна 540, поэтому:

$540 = \frac{1}{2} \times AB \times r$ $(2)$

Так как треугольник равнобедренный, длины отрезков $AB$, $AC$, и $BC$ равны между собой. Обозначим их как $l$. Тогда:

$AB = AC = BC = l$ $(3)$

Совмещая уравнения $(1)$, $(2)$, и $(3)$, мы можем решить систему уравнений и найти значения для $l$ и $r$. Подставим $(1)$ и $(3)$ в $(2)$:

$540 = \frac{1}{2} \times l \times \frac{2r}{13}$

Решим это уравнение относительно $l$. Умножим обе стороны на $\frac{26}{r}$:

$l = \frac{540 \times 26}{r \times 13}$

Теперь мы знаем, что $l = \frac{540 \times 26}{r \times 13}$ и $l = 2r$. Подставим $2r$ вместо $l$:

$2r = \frac{540 \times 26}{r \times 13}$

Упростим уравнение:

$4r^2 = 540 \times 2$

$4r^2 = 1080$

$r^2 = 270$

$r = \sqrt{270}$

$r = 3\sqrt{30}$

Теперь мы можем найти длину отрезка $VO$. Он равен радиусу окружности, то есть:

$VO = 3\sqrt{30}$