Question

1)Найти косинус угла между векторами:a(2;2;2), b(7;-1;-1). 2)Найти координаты вектора a ⃗;b ⃗;c ⃗ и a ⃗+b ⃗-2c ⃗, если задано их разложение по базисным векторам а ⃗=i ⃗+2j ⃗, b ⃗=-3i ⃗-j ⃗+k ⃗, c ⃗=4j ⃗+(2k) ⃗

Answer 1

1) cos φ = (a · b) / ( |a| * |b| ) = (2*7 + 2*(-1) + 2* (-1) ) / (√(2²+2²+2²) * √(7²+(-1)²+(-1)²) ) = 10 / (√12 * √51) = 10 / (2√3 * √51) = 5 / √153

Ответ: 5/√153.

2) a = (1; 2; 0)

b = (-3; -1; 1)

c = (0; 4; 2)

a+b-2c = (1; 2; 0) + (-3; -1; 1) - 2(0; 4; 2) = (-2; 1; 1) - (0; 8; 4) = (-2; -7; -3)

Answer 2

1. Для начала найдем скалярное произведение векторов a и b:

$a \cdot b = (2)(7) + (2)(-1) + (2)(-1) = 14 - 2 - 2 = 10.$

Затем найдем длины векторов a и b:

$|a| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3},$ $|b| = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11}.$

Теперь мы можем найти косинус угла $θ$ между векторами a и b:

$\cos θ = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|} = \frac{10}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{11}} = \frac{5}{\sqrt{33}}.$

2. Разложение векторов по базисным векторам уже дано:

$a = i + 2j,$ $b = -3i - j + k,$ $c = 4j + 2k.$

Теперь найдем вектор $a + b - 2c$:

$a + b - 2c = (i + 2j) + (-3i - j + k) - 2(0i + 4j + 2k)$ $= -2i - 2j - k.$

Таким образом, координаты вектора $a + b - 2c$ равны (-2, -2, -1).