Question

1. Треугольник задан вершинами А(3; -1; 3), В(3; -2; 2), С(2; 2; 3) Найдите: 1. координаты векторов ; 2. длины сторон треугольника; 3. Угол С; 4. Координаты точки К, если она делит отрезок АВ в отношении λ=2:3. 5. Скалярное произведение векторов 6. Проверить, являются ли перпендикулярными стороны АС и ВС

Answer 1

.......................................

Answer 2

Давайте решим каждый из пунктов:

1. Координаты векторов:

Вектор задается разностью координат соответствующих конечных и начальных точек. Например, вектор $\overrightarrow{AB}$ можно найти как $\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}$, и так далее.

$\overrightarrow{AB} = (3-3, -2-(-1), 2-3) = (0, -3, -1)$

$\overrightarrow{BC} = (2-3, 2-(-2), 3-2) = (-1, 4, 1)$

$\overrightarrow{CA} = (3-2, -1-2, 3-3) = (1, -3, 0)$

2. Длины сторон треугольника:

Длина вектора $\overrightarrow{V}$ вычисляется как $\|\overrightarrow{V}\| = \sqrt{V_x^2 + V_y^2 + V_z^2}$.

$\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}$

$\|\overrightarrow{BC}\| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + 1^2} = \sqrt{18}$

$\|\overrightarrow{CA}\| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{10}$

3. Угол C:

Угол между векторами $\overrightarrow{U}$ и $\overrightarrow{V}$ вычисляется по формуле $\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{U} \cdot \overrightarrow{V}}{\|\overrightarrow{U}\| \cdot \|\overrightarrow{V}\|}$.

$\cos(\angle C) = \frac{\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}}{\|\overrightarrow{CA}\| \cdot \|\overrightarrow{CB}\|}$

$\cos(\angle C) = \frac{(1 \cdot -1) + (-3 \cdot 4) + (0 \cdot 1)}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{18}}$