Question

Вершины некоторого треугольника делят полную дугу описанной около него окружности в отношении 1:2:3. Наименьшая из сторон этого треугольника равна 6. Найдите его площадь. Ответ: 3 корня из 3

Answer 1

Ответ:

S∆ABC = 18√3

Объяснение:

решение во вложении (2 фото)

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте разберемся с тем, какие у нас есть данные и как мы можем найти площадь треугольника.

У нас есть треугольник, описанный около окружности. Полная дуга окружности делится на три части в отношении 1:2:3, что означает, что углы в центре, соответствующие этим дугам, также разделены в том же отношении.

Пусть A, B и C - вершины треугольника, а α, β и γ - соответствующие им углы в центре окружности.

Согласно формуле для длины дуги окружности:

Длина дуги = (Угол в центре / 360) * Длина окружности

Мы знаем, что угол в центре α равен углу в центре β * 2 и угол в центре γ * 3:

α = 2β α = 3γ

Также известно, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусов:

α + β + γ = 180°

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Подставим α = 2β и α = 3γ в уравнение α + β + γ = 180°:

2β + β + γ = 180°

3β + γ = 180°

Теперь мы знаем отношение между углами в треугольнике. Теперь давайте рассмотрим треугольник. Пусть a - наименьшая сторона треугольника, которая равна 6.

Мы можем использовать закон синусов для нахождения площади треугольника:

Площадь треугольника = (1/2) * a * b * sin(γ)

Где b - средняя сторона треугольника, а γ - угол между этими сторонами.

Из закона синусов:

b / sin(β) = a / sin(α)

Так как у нас есть отношение между углами α, β и γ, то мы можем выразить sin(β) через sin(γ):

sin(β) = sin(α / 2) = sin(γ / 3)

Теперь мы можем найти b:

b = (a * sin(β)) / sin(γ) = (6 * sin(α / 2)) / sin(γ / 3)

Теперь, используя формулу для площади треугольника:

Площадь треугольника = (1/2) * a * b * sin(γ) = (1/2) * 6 * [(6 * sin(α / 2)) / sin(γ / 3)] * sin(γ)

Площадь треугольника = 18 * sin(α / 2) * sin(γ / 3)

Теперь давайте найдем значения sin(α / 2) и sin(γ / 3) из тригонометрических соотношений:

sin(α / 2) = sin(2β / 2) = sin(β) sin(γ / 3) = sin(3γ / 3) = sin(γ)

Теперь подставим их обратно в площадь треугольника:

Площадь треугольника = 18 * sin(β) * sin(γ)

Теперь, учитывая отношение между углами α, β и γ, мы можем найти sin(β) и sin(γ). По условию, α + β + γ = 180°, и мы знаем, что α = 2β и α = 3γ. Подставим значения:

2β + β + γ = 180°

3β + γ = 180°

Теперь выразим γ через β из второго уравнения:

γ = 180° - 3β

Теперь подставим это значение γ в первое уравнение:

2β + β + (180° - 3β) = 180°

2β + β + 180° - 3β = 180°

Бета сокращается:

0β + 180° = 180°

Таким образом, у нас есть β = 0° и γ = 180°. Теперь мы можем найти sin(β) и sin(γ):

sin(β) = sin(0°) = 0 sin(γ) = sin(180°) = 0

Теперь мы можем найти площадь треугольника:

Площадь треугольника = 18 * sin(β) * sin(γ) = 18 * 0 * 0 = 0

Площадь треугольника равна 0.

Похоже, в задаче есть ошибка, и площадь треугольника не может быть равной "3 корня из 3". Вероятно, в задаче была допущена ошибка в условии или в ответе.