Question

В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB=корень из 3+1, угол A=60. Найдите радиус окружности, касающейся катета AC, гипотенузы AB и окружности, описанной около треугольника ABC.

Answer 1

Ответ:

Теорема 1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то есть

c2 = a2 + b2,

где c — гипотенуза треугольника.

Теорема 2. Для прямоугольного треугольника (рис. 1) верны следующие соотношения:

a = c cos β = c sin α = b tg α = b ctg β,



где c — гипотенуза треугольника.



Теорема 3. Пусть ca и cb — проекции катетов a и b прямоугольного треугольника на гипотенузу c, а h — высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу (рис. 2). Тогда справедливы следующие равенства:

h2 = ca∙cb, a2 = c∙ca, b2 = c∙cb.

Answer 2

Для нахождения радиуса окружности, касающейся катета AC, гипотенузы AB и окружности, описанной около треугольника ABC, можно воспользоваться свойствами касательных и треугольников.

1. Рассмотрим треугольник ABC. У нас есть угол A, равный 60 градусов. Также известно, что гипотенуза AB равна sqrt(3) + 1. Мы можем найти длину катета AC, используя тригонометрический синус:

   sin(A) = AC / AB

   sin(60°) = AC / (sqrt(3) + 1)

   AC = (sqrt(3) + 1) * sin(60°)

   AC = (sqrt(3) + 1) * (sqrt(3)/2)

   AC = (3/2 + sqrt(3)/2)

2. Теперь рассмотрим радиус окружности, касающейся катета AC и гипотенузы AB. Поскольку касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания, она разделит гипотенузу AB на две равные части. Поэтому радиус этой окружности будет равен половине катета AC:

   Радиус1 = AC / 2

   Радиус1 = [(3/2) + (sqrt(3)/2)] / 2

   Радиус1 = (3/4) + (sqrt(3)/4)

3. Теперь нам нужно найти радиус окружности, описанной около треугольника ABC. Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы AB:

   Радиус2 = AB / 2

   Радиус2 = [(sqrt(3) + 1) / 2]

Итак, мы нашли два радиуса:

Радиус1 = (3/4) + (sqrt(3)/4) Радиус2 = [(sqrt(3) + 1) / 2]

Радиус окружности, касающейся катета AC, гипотенузы AB и окружности, описанной около треугольника ABC, равен минимальному из этих двух радиусов.