Question

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости.

Answer 1

Вставлено фото) Дивись фото

Answer 2

Для доказательства этого утверждения предположим, что у нас есть две параллельные плоскости, которые обозначим как P1 и P2, и прямая L, которая перпендикулярна плоскости P1. Нашей задачей является доказательство того, что прямая L также перпендикулярна к плоскости P2.

Для начала обозначим вектор нормали к плоскости P1 как N1. Так как прямая L перпендикулярна к плоскости P1, то вектор направления прямой L параллелен вектору нормали N1, что можно записать как:

L || N1

Теперь, предположим, что прямая L не перпендикулярна к плоскости P2. Тогда существует точка на прямой L, которая лежит в плоскости P2. Обозначим эту точку как A.

Теперь давайте рассмотрим вектор N2, который является вектором нормали к плоскости P2. Поскольку точка A лежит в плоскости P2, вектор из точки A в любую точку на плоскости P2 будет перпендикулярен к плоскости P2. Это означает, что вектор из точки A к любой точке внутри плоскости P2 будет параллелен вектору N2. Мы можем записать это как:

A -> P2 || N2

Теперь у нас есть два важных факта:

1. L || N1
2. A -> P2 || N2

Из этих двух фактов следует, что вектор направления прямой L параллелен вектору нормали к плоскости P2:

L || N2

Это означает, что прямая L перпендикулярна к плоскости P2, так как она параллельна вектору нормали к этой плоскости. Таким образом, мы доказали, что если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей (P1), то она также перпендикулярна и другой плоскости (P2).