Question

Диагонали выпуклого четырехугольника равны a и b и пересекаются под углом a=45 градусов. Найти площадь четырехугольника с вершинами на середина сторон данного четырехугольника​

Answer 1

Диагонали выпуклого четырехугольника равны a и b и пересекаются под углом a=45 градусов. Найти площадь четырехугольника с вершинами на середина сторон данного четырехугольника​

Объяснение:

МКНР -выпуклый четырехугольник ,МН=а , КР=b ,О-точка пересечения диагоналей , ∠КОН=45°.

Пусть А, В, С, Д-середины сторон. Тогда

АД-средняя линия ΔМВН , АД=1/2*а;

ВС-средняя линия ΔМРН , ВС=1/2*а;

АВ-средняя линия ΔКНР , АВ=1/2*b ;

СД-средняя линия ΔКМР , АВ=1/2*b . Получили , что противоположные стороны попарно равны⇒ АВСД-параллелограмм , по признаку параллелограмма.

S=a*b*sinα , Найдем угол  α между сторонами параллелограмма.

Т.к АД║МН , АВ║КР , по свойству средней линии , то синяя фигура на чертеже -параллелограмм, у которой противоположные углы равны⇒∠ДАВ=45°.

S=АД*АВ*sin∠ДАВ =1/2*а*1/2*b*sin45°=1/4*ab*√2/2=(ab√2)/8.

Answer 2

Для решения этой задачи можно воспользоваться формулой для площади четырехугольника, известной как формула бретель-бретель (Bretschneider's formula). Формула имеет следующий вид:

S = √[s * (s - a) * (s - b) * (s - c)]

где S - площадь четырехугольника, s - полупериметр четырехугольника (сумма всех его сторон, деленная на 2), a, b, c - длины сторон четырехугольника.

В данной задаче четырехугольник имеет две диагонали, a и b, которые пересекаются под углом 45 градусов. Таким образом, у нас есть два треугольника, каждый из которых имеет диагональ a или b и две стороны четырехугольника.

Сначала найдем длины сторон четырехугольника. Так как диагонали пересекаются под углом 45 градусов, то каждая из них разбивает четырехугольник на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Пусть x - это половина диагонали a, и y - это половина диагонали b. Тогда длины сторон четырехугольника будут следующими:

AB = CD = 2x BC = AD = 2y

Теперь найдем полупериметр s:

s = (AB + BC + CD + AD) / 2 s = (2x + 2y + 2x + 2y) / 2 s = (4x + 4y) / 2 s = 2(x + y)

Теперь мы можем использовать формулу бретель-бретель для нахождения площади четырехугольника:

S = √[s * (s - AB) * (s - BC) * (s - CD) * (s - AD)]

Подставим значения:

S = √[2(x + y) * (2(x + y) - 2x) * (2(x + y) - 2y) * (2(x + y) - 2x) * (2(x + y) - 2y)]

Теперь упростим выражение:

S = √[2(x + y) * 2x * 2y * 2x * 2y]

S = √[32x^2 * 32y^2]

S = √[(32x^2) * (32y^2)]

S = 32xy

Таким образом, площадь четырехугольника с вершинами в серединах его сторон равна 32xy.