Question

Дано координати вершини піраміди АВСD А(1,2,3) В(2;0;0) С(3;2;5) D(4;0;0), знайти: 1)площу грані АВС(як площу трикутника, побудованого на двох векторів) 2)об'єм піраміди​

Answer 1

Даны вершины пирамиды АВСD А(1,2,3), В(2;0;0), С(3;2;5), D(4;0;0).

1) Находим векторы АВ и АС.

АВ = (2-1; 0-2; 0-3) = (1; -2; -3).

АС = (3-1; 2-2; 5-3) = (2; 0; 2).

Векторное произведение равно:

i        j      k|      i      j

1      -2    -3|     1      -2

2     0      2|     2      0 = -4i - 6j + 0k - 2j - 0i + 4k = 4i - 8j + 4k = (4; -8; 4).

S = (1/2)*√(16 + 64 + 16) = (1/2)*√96 = 2√6 ≈ 4,898979.

2) Находим вектор АД = (3; -2; -3).

Смешанное произведение (АВ*АС)хАД равно:

4        -8      4

3         -2    -3 = 12 + 16 - 12 = 16.

V = (1/6)*16 = 8/3.

Answer 2

Для знаходження площі грані АВС піраміди спочатку потрібно знайти вектори AB і AC, а потім знайти їхню площу.

1. Знайдемо вектори AB і AC:

Вектор AB = B - A = (2, 0, 0) - (1, 2, 3) = (1, -2, -3) Вектор AC = C - A = (3, 2, 5) - (1, 2, 3) = (2, 0, 2)

2. Знайдемо площу грані АВС за допомогою векторного добутку цих векторів:

Площа грані АВС = 0.5 * |AB x AC|, де x - це векторний добуток.

Векторний добуток AB і AC: AB x AC = ((-2) * 2 - (-3) * 0, (-3) * 2 - 1 * 2, 1 * 0 - (-2) * 2) = (-4, -8, 4)

Тепер знайдемо модуль цього вектора: |AB x AC| = √((-4)^2 + (-8)^2 + 4^2) = √(16 + 64 + 16) = √96 = 4√6

Площа грані АВС = 0.5 * |AB x AC| = 0.5 * 4√6 = 2√6 квадратних одиниці.

3. Для знаходження об'єму піраміди можна використовувати формулу об'єму піраміди, яка виглядає так:

Об'єм піраміди = (1/3) * Площа грані АВС * Висота піраміди

Висота піраміди - це відстань від вершини D до площі грані АВС. Ми можемо знайти відстань між точками, використовуючи формулу відстані між точками в просторі:

Відстань між D і АВС = |D - A|, де |D - A| - це модуль різниці координат D і A.

|D - A| = √((4 - 1)^2 + (0 - 2)^2 + (0 - 3)^2) = √(3^2 + (-2)^2 + (-3)^2) = √(9 + 4 + 9) = √22

Тепер можемо знайти об'єм піраміди:

Об'єм піраміди = (1/3) * Площа грані АВС * Висота піраміди = (1/3) * (2√6) * √22 = (2/3) * √(6 * 22) = (2/3) * √(132) = (2/3) * (2√33) = (4/3)√33 кубічних одиниць.

Отже, площа грані АВС піраміди дорівнює 2√6 квадратних одиниць, а об'єм піраміди дорівнює (4/3)√33 кубічних одиниць.