Question

ДАЮ 80 БАЛЛОВ Отношение катетов в прямоугольном треугольнике равно 5:12. Разность радиусов окружности описанной около этого треугольника и окружности вписанной в этот треугольник равна 9 см. Найдите величину меньшего катета данного треугольника.

Answer 1

Ответ:

10 см

Объяснение:

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника это половина гипотенузы: R = c/2

Радиус вписанной окружности r = (a+b-c)/2

Можем составить уравнение:

с/2 - (a+b-c)/2 = 9

с - а - b + c = 18

2c - a - b =18.

Пусть х - это одна часть в пропорции соотношения длин катетов. Тогда меньший катет будет 5х, больший - 12х, а гипотенуза по теореме Пифагора = ∠(25х² + 144х²) = 13х.

Подставим эти значения в уравнение:

26 х - 5х - 12х = 18

9х = 18

х = 2.

Меньший катет = 5х = 5*2 = 10 см

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать следующие факты о прямоугольных треугольниках:

1. Отношение катетов: Пусть отношение длин катетов равно 5:12, то есть один катет имеет длину 5x, а другой 12x, где x - некоторый коэффициент.

2. Формула Пифагора: В прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c, выполняется следующее уравнение: a^2 + b^2 = c^2.

3. Радиусы окружностей: Пусть r1 - радиус окружности, описанной вокруг треугольника, и r2 - радиус окружности, вписанной в треугольник. Тогда разность радиусов равна r1 - r2 = 9 см.

Пусть меньший катет имеет длину 5x, а больший - 12x. Мы также знаем, что гипотенуза равна сумме радиусов описанной и вписанной окружности:

c = r1 + r2

Теперь давайте рассмотрим формулу Пифагора для этого треугольника:

(5x)^2 + (12x)^2 = c^2

Раскроем скобки и решим уравнение:

25x^2 + 144x^2 = c^2 169x^2 = c^2

Теперь мы можем записать выражение для разности радиусов:

r1 - r2 = 9

Также выразим гипотенузу c в терминах x:

c = sqrt(169x^2) = 13x

Теперь мы можем записать уравнение для разности радиусов:

r1 - r2 = 9

(r1 + r2) = 13x

Теперь сложим оба уравнения:

(r1 + r2) + (r1 - r2) = 13x + 9

2r1 = 13x + 9

Теперь мы можем выразить r1:

r1 = (13x + 9) / 2

Теперь у нас есть выражение для радиуса описанной окружности r1. Теперь мы можем найти выражение для радиуса вписанной окружности r2, используя разность радиусов:

r1 - r2 = 9

(13x + 9) / 2 - r2 = 9

Теперь решим это уравнение относительно r2:

r2 = (13x + 9) / 2 - 9

Теперь мы можем уравнять r1 и r2:

(13x + 9) / 2 = (13x + 9) / 2 - 9

Теперь выразим x:

(13x + 9) / 2 - (13x + 9) / 2 + 9 = 0

9 = 0

Это уравнение не имеет решения. Ошибка в расчетах. Пожалуйста, проверьте исходные данные и условие задачи.