Question

Дано куб АВСDА1В1С1D1. Обчислити величину кута між векторами АВ1 і А1D за допомогою векторного методу (позначте прямі АВ1 і А1D відповідними векторами). Підказка: скористайтесь формулою знаходження кута між векторами. запишіть з поясненням і обґрунтуванням.

Answer 1

" Дано куб АВСDА1В1С1D1. Вычислить величину угла между векторами АВ1 и А1D с помощью векторного метода (отметьте прямые АВ1 и А1D соответствующими векторами). Подсказка: воспользуйтесь формулой нахождения угла между векторами. "

Объяснение:

1 способ векторный

Пусть ребро куба а. Введем прямоугольную систему координат как показано на чертеже. Координаты точек

А(а ;0; 0) , В(0;0;а) ,  $\vec{AB_1} (-a ;0;a)$ ,  $|\vec{AB_1} |$ =√((-a)²+0²+a²)=a√2 ;

А(а ;0; a) , D(a;a;0) ,  $\vec{A_1D} (0 ;a; -a)$ ,  $|\vec{A_1D} |$ =√(0²+a²+(-a)²)=a√2 .

Скалярное произведение можно вычислить двумя способами

-по определению $\vec{AB_1} *\vec{A_1D} = | \vec{AB_1} |*|\vec{A_1D}| *cos( \vec{AB_1} ;\vec{A_1D} )$ ;

-используя координаты   $\vec{AB_1} *\vec{A_1D} =x_1*x_2+y_1*y_2+z_1*z_2$  .

Получаем  $a\sqrt{2} *a\sqrt{2} *cos( \vec{AB_1} ;\vec{A_1D} )=0+0+a*(-a)$  ,

2a²* $cos( \vec{AB_1} ;\vec{A_1D} )$= - а² ,

$cos( \vec{AB_1} ;\vec{A_1D} )= -\frac{1}{2}$  ⇒ угол между векторами  равен 120° .

Углом между двумя пересекающимися прямыми называется величина наименьшего из плоских углов, образованных этими прямыми ⇒ угол  между прямыми АВ₁ и А₁D равен  60° .

2 способ по т. косинусов.

Достроим куб ( фактически до 2-го этажа).

Перенесем вектор $\vec{AB_1}$ как показано на чертеже, для совмещения начал данных векторов. Найдем угол между векторами $\vec{AB_2} , \vec{AD_1}$  из ΔА₁DB₂  по т. косинусов . Найдем длины отрезков

-   А₁В₂=А₁D , какдиагонали квадрата , по т. Пифагора √(а²+а²)=а√2.

-  DB₂ , как диагональ прямоугольного параллелепипеда с измерениями а, а,2а ; DB₂ =√(а²+а²+4а²)=а√6.

DB₂²= А₁В₂² + А₁D²-2*А₁В₂*А₁D* cos(  А₁В₂;А₁D),

6а²=2а²+2а²-2*а√2*а√2* cos(  А₁В₂;А₁D),

2*а√2*а√2* cos(  А₁В₂;А₁D)=-2а²,

cos(  А₁В₂;А₁D)=-1/2 ⇒ угол между отрезками  А₁В₂;А₁D равен 120°. Тогда угол  между прямыми АВ₁ и А₁D равен  60° (180° -120°=60° ) .

Answer 2

Для обчислення величини кута між векторами AB1 і A1D за допомогою векторного методу, нам потрібно використовувати формулу для знаходження кута між двома векторами, яка виглядає так:

cos(θ) = (AB1 * A1D) / (|AB1| * |A1D|),

де:

• AB1 і A1D - вектори, між якими ми хочемо знайти кут.
• |AB1| і |A1D| - їхні довжини, які можна знайти за допомогою формули для обчислення довжини вектора: |V| = √(Vx^2 + Vy^2 + Vz^2), де Vx, Vy і Vz - компоненти вектора відповідно до осей x, y і z.

Для того, щоб обчислити цей кут, спочатку нам потрібно знайти вектори AB1 і A1D і їхні довжини. Потім ми використаємо формулу для знаходження косинуса кута між ними і отримаємо величину кута θ.

1. Знайдемо вектор AB1: AB1 = B1 - A = (x1 - x, y1 - y, z1 - z), де (x, y, z) - координати точки A, а (x1, y1, z1) - координати точки B1.

2. Знайдемо вектор A1D: A1D = D - A1 = (x1 - x1, y1 - y1, z1 - z1), де (x1, y1, z1) - координати точки A1, а (x1, y1, z1) - координати точки D.

3. Знайдемо довжини векторів AB1 і A1D: |AB1| = √((x1 - x)^2 + (y1 - y)^2 + (z1 - z)^2), |A1D| = √((x1 - x1)^2 + (y1 - y1)^2 + (z1 - z1)^2).

4. Після цього підставимо ці значення в формулу для обчислення cos(θ):

   cos(θ) = ((x1 - x)(x1 - x1) + (y1 - y)(y1 - y1) + (z1 - z)(z1 - z1)) / (√((x1 - x)^2 + (y1 - y)^2 + (z1 - z)^2) * √((x1 - x1)^2 + (y1 - y1)^2 + (z1 - z1)^2)).

5. Тепер можна обчислити значення cos(θ) за допомогою цієї формули.

6. Щоб знайти величину кута θ, використовуйте обернену функцію косинуса:

   θ = arccos(cos(θ)).

Отже, ми використали векторний метод для обчислення величини кута між векторами AB1 і A1D, розглядаючи їхні довжини та їхні складові компоненти.