Question

2. а) Из точки А к окружности проведены две касательные, угол между которыми равен 60°. Найдите радиус окружности, если расстояние от точки А до центра окружности равно 24 см. Запишите свойства касательной, которые используются при решении задачи

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

12см

Пояснення:

С точки А проведени касательние АВ и АС

/_ВАС=60°

АО=24см

Так как радиус к касательним перпендикулярен, то △ОВА и △ОСА прямоугольние, гипотенуза АО общая и катети ОВ=ОС → △ОВА=△ОСА

АО есть биссектриса /_ВАС

Поетому /_ВАО=/_САО=30°

В прямоугольном △ катет против угла в 30° в половину меньше гипотенузи → радиус = ОС=24:2=12

Свойства касательной:

- с радиусом, в точке касания, перпендикулярная

- касательние, проведенние с одной точки к окружности, равни

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуются свойства касательных, проходящих к окружности:

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания. То есть, если мы проведем радиус из центра окружности к точке касания, он будет перпендикулярен касательной.

2. Вертикальные углы равны. Это значит, что если у нас есть две касательные, и они пересекаются в какой-то точке, то углы между этими касательными и радиусами, проведенными к точке пересечения, равны друг другу.

Теперь приступим к решению задачи:

Пусть O - центр окружности, A - точка, из которой проведены две касательные к окружности. Пусть B и C - точки касания касательных с окружностью, а R - радиус окружности. Также, пусть D - середина отрезка BC.

Известно, что расстояние от точки A до центра окружности O равно 24 см, и угол между касательными (угол BAC) равен 60 градусов.

Мы знаем, что радиус, проведенный из центра окружности к точке касания, перпендикулярен касательной. Поэтому угол ABO равен 90 градусов.

Также мы знаем, что угол BAO равен половине угла BAC, то есть 60 градусов / 2 = 30 градусов.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ABO с известным углом BAO (30 градусов) и гипотенузой AO (24 см).

Мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения сторон треугольника. В данном случае, нам понадобится тангенс угла BAO:

tan(BAO) = AB / AO

Где AB - радиус окружности, который мы хотим найти.

tan(30 градусов) = AB / 24 см

Теперь найдем AB:

AB = 24 см * tan(30 градусов)

AB = 24 см * 1/√3 (так как tan(30 градусов) = 1/√3)

AB = 8√3 см

Таким образом, радиус окружности R равен 8√3 см.

Свойства касательных, использованные в этой задаче:

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания.
2. Вертикальные углы равны (углы между касательными и радиусами в точке пересечения).