Question

Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, которые выходят с ней из одной вершины, и больше полуразности суммы этих сторон и третьей стороны треугольника

Answer 1

Пусть две стороны треугольника равны a и b, а медиана проведена к третьей стороне, которая равна с. Длина медианы пусть равна m. Тогда если продолжить медиану на ее длину, и достроить до параллелограмма, то верно неравенство треугольника:
a+b>2m. Отсюда первое условие.
Для второго, исходный треугольник разбит медианой на 2 треугольника. Для каждого из них неравенство треугольника можно записать так:
m+c/2>a
m+c/2>b
Складывая эти неравенства и перенося с, получим 2m>a+b-c, что и требовалось.

Answer 2

Для начала, давайте вспомним определение медианы треугольника. Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Теперь давайте докажем, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, которые выходят с неё из одной вершины.

Доказательство: Медиана меньше полусуммы сторон

Пусть ABC - треугольник, а M - середина стороны AB, где C - третья вершина треугольника.

Теперь, обозначим стороны треугольника следующим образом: AB = c, BC = a, AC = b

Из теоремы о медиане известно, что AM = BM = c/2 (так как M - середина стороны AB).

Теперь посмотрим на треугольник AMC. По неравенству треугольника, сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. Таким образом, мы имеем: AM + MC > AC c/2 + MC > b MC > b - c/2

Теперь посмотрим на треугольник BMC. Аналогично, из неравенства треугольника следует: BM + MC > BC c/2 + MC > a MC > a - c/2

Теперь сложим два полученных неравенства: MC + MC > (b - c/2) + (a - c/2) 2MC > a + b - c MC > (a + b - c)/2

Таким образом, мы доказали, что медиана MC больше полуразности суммы сторон a и b и третьей стороны c треугольника.

Вывод

Итак, мы доказали, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, которые выходят с неё из одной вершины, и больше полуразности суммы этих сторон и третьей стороны треугольника.