Question

Прямая, проходящая через точку P - середину гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС, перпендикулярна СР и пересекает катет АС в точке Е. прямые РЕ и ВС пересекаются в точке М, а прямые АМ и ВЕ в точке N. Найдите NE, если СЕ : ЕА = 2:1 и BC= 4 корень из 3

Answer 1

Ответ:

$8\sqrt{7}$

Объяснение:

Дано: ΔАВС - прямоугольный;

АР=РВ;

СР⊥КМ;

КМ∩АС=Е

РЕ∩ВС=М

АМ∩ВЕ=N

CE:EA=2:1

$DC=4\sqrt{3}$

Найти: NE.

Решение:

Соединим точки С и N.

1. Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный.

СР - медиана (условие)

⇒АР=РВ=РС (свойство медианы, проведенной к гипотенузе)

2. Рассмотрим ΔNMC.

MK∩AC∩NB=E

Причем, СЕ:АЕ=2:1

⇒MK;AC;NB - медианы ΔNMC.

⇒СВ=ВМ=4√3; или СВ=8√3

3. Рассмотрим ΔСРМ - прямоугольный.

РВ - медиана (п.2)

⇒РВ=СВ=ВМ=4√3 (свойство медианы, проведенной к гипотенузе)

РВ=РС=4√3 (п.1)

4. Рассмотрим ΔСРМ - прямоугольный.

$PM=\sqrt{CM^2-PC^2}=\sqrt{192-48}=12$

5. Рассмотрим ΔЕМС - прямоугольный.

МС²=МР*МЕ (метр. соотношения в п/у Δ)

192=12*ME⇒МЕ=16

По т. Пифагора:

$EC=\sqrt{EM^2-MC^2}=\sqrt{256-192}=8$

6. Рассмотрим ΔЕВС - прямоугольный.

ЕВ²=ВС²+ЕС²=√112

ЕВ=4√7

7. EN:EB=2:1

⇒NE=2*4√7=8√7

Answer 2

Для решения этой задачи используем свойства подобных треугольников и координатную геометрию. Давайте обозначим точки следующим образом:

Пусть A (0, 0) - начало координат, B (x, 0) - точка B на горизонтальной оси, а C (0, y) - точка C на вертикальной оси. Так как треугольник ABC прямоугольный, то из условия находим:

BC = 4√3, значит y = 4√3.

Точка P - середина гипотенузы AB, поэтому P имеет координаты (x/2, 0).

Прямая РЕ проходит через точку P и перпендикулярна СР, поэтому угол СРЕ прямой. Также, из условия СЕ:ЕА = 2:1 мы знаем, что отношение CE к EA равно 2:1. Следовательно, CE = 2k и EA = k, где k - некоторая константа. Так как точка С находится на вертикальной оси и имеет координаты (0, 4√3), то E имеет координаты (0, 4√3 - 2k).

Теперь мы можем найти уравнение прямой РЕ. Используем формулу наклона прямой:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1),

где (x1, y1) - координаты P, (x2, y2) - координаты E.

m = (4√3 - 2k - 0) / (0 - x/2) = (4√3 - 2k) / (-x/2).

Так как угол СРЕ прямой, то произведение наклонов SP и PE равно -1:

mSP * mPE = -1.

mSP = 0 (так как SP горизонтальная прямая).

0 * ((4√3 - 2k) / (-x/2)) = -1.

Теперь решим это уравнение относительно k:

0 = -1 / ((4√3 - 2k) / (-x/2)).

0 = -x / (4√3 - 2k).

0 = -x / 2(2√3 - k).

2(2√3 - k) = x.

4√3 - 2k = x.

Теперь у нас есть выражение для x через k. Теперь найдем координаты точки М, которая является точкой пересечения прямых РЕ и ВС. Прямая ВС параллельна оси y и проходит через точку C (0, 4√3), поэтому ее уравнение имеет вид:

x = 0.

Таким образом, точка M имеет координаты (0, 4√3 - 2k).

Теперь находим уравнение прямой АМ, проходящей через точки A (0, 0) и M (0, 4√3 - 2k):

mAM = (4√3 - 2k - 0) / (0 - 0) = (4√3 - 2k) / 0 (эта прямая вертикальная).

Теперь рассмотрим прямую ВЕ, проходящую через точки B (x, 0) и E (0, 4√3 - 2k):

mBE = (4√3 - 2k - 0) / (0 - x) = (4√3 - 2k) / -x.

Мы знаем, что произведение наклонов AM и BE равно -1:

mAM * mBE = -1.

((4√3 - 2k) / 0) * ((4√3 - 2k) / -x) = -1.

0 * ((4√3 - 2k) / -x) = -1.

Это уравнение нам не даёт информации о k и x, так как одна из прямых вертикальная, а другая горизонтальная.

Теперь рассмотрим точку N, которая является точкой пересечения прямых АМ и ВЕ. Так как AM вертикальная и BE горизонтальная, то точка N имеет координаты (0, 4√3 - 2k).

Таким образом, координаты точки N равны (0, 4√3 - 2k).

Теперь, чтобы найти NE, можно использовать расстояние между точками N и E:

NE = sqrt((0 - 0)^2 + (4√3 - 2k - (4√3 - 2k))^2) = sqrt(0 + 0) = 0.

Итак, NE равно 0.