Question

. У трикутнику ABC проведено медіани BD і CE. Периметри трикутників ACE і ВСЕ рівні, а периметр трикутника BCD менший від периметра трикутника ABD на 4 см. Знайдіть сторони трикутника АВС, якщо його периметр дорівнює 34 см. ​

Answer 1

..........................

Answer 2

Позначимо сторони трикутника ABC як a, b і c, де a - сторона BC, b - сторона AC і c - сторона AB. Також позначимо точки перетину медіан як M (точка перетину BD і CE).

Оскільки BD і CE є медіанами трикутника ABC, то вони ділять кожну відповідну сторону пополам. Таким чином, ми можемо виразити сторони трикутників ACE і BCD через a, b і c:

AC = 2 * BD = 2 * (1/2) * c = c BC = 2 * CE = 2 * (1/2) * b = b AB = 2 * AM (за властивістю медіани) = 2 * (1/2) * a = a

Далі нам дано, що периметр трикутника ACE і ВСЕ рівні:

Perimeter(ACE) = AC + CE + AE Perimeter(BCE) = BC + CE + BE

Ми також знаємо, що периметр трикутника BCD менший від периметра трикутника ABD на 4 см:

Perimeter(BCD) = BC + CD + BD Perimeter(ABD) = AB + BD + AD Perimeter(ABD) - Perimeter(BCD) = 4

Але ми вже знаємо, що AC = c, BC = b і AB = a, тому:

(a + c + AM) - (b + AM + (1/2) * c) = 4 a + c - b - (1/2) * c = 4 a - b + (1/2) * c = 4

Тепер ми знаємо, що периметр трикутника ABC дорівнює 34 см, отже:

Perimeter(ABC) = a + b + c = 34

Ми маємо систему двох рівнянь з двома невідомими a, b і c:

1. a - b + (1/2) * c = 4
2. a + b + c = 34

Розв'язавши цю систему, ми знайдемо значення a, b і c. Давайте вирішимо цю систему:

Складемо 2a - 2b + c = 8 (подвоємо перше рівняння)

Додаємо це до другого рівняння: 2a - 2b + c + a + b + c = 34

Отримуємо: 3a - b + 2c = 34

Також ми маємо перше рівняння: a - b + (1/2) * c = 4

Тепер можемо розв'язати цю систему рівнянь. Я використаю метод елімінації:

Множимо перше рівняння на 2: 2a - 2b + c = 8

Додаємо це до другого рівняння: 3a - b + 2c + 2a - 2b + c = 34 + 8

Отримуємо: 5a - 3b + 3c = 42

Додаємо це до першого рівняння, помноженого на 3: 3a - 3b + (3/2) * c = 12

Отримуємо: 8a - 6b + 6c = 54

Тепер ми маємо систему двох рівнянь з двома невідомими:

1. 5a - 3b + 3c = 42
2. 8a - 6b + 6c = 54

Розв'яжемо цю систему. Можна використовувати методи лінійних рівнянь або матриць. Для прикладу, використаємо метод матриць:

Складаємо матрицю коефіцієнтів:

cssCopy code
| 5  -3  3 |   | a |   | 42 |
| 8  -6  6 | * | b | = | 54 |

Використовуючи матричне множення, ми отримуємо нову систему:

1. 5a - 3b + 3c = 42
2. 8a - 6b + 6c = 54

Тепер розв'яжемо цю систему рівнянь. Я використаю метод елімінації:

1. Помножимо перше рівняння на 2: 10a - 6b + 6c = 84
2. Віднімемо друге рівняння: 10a - 6b + 6c - (8a - 6b + 6c) = 84 - 54 Отримуємо: 2a = 30 a = 15

Підставимо значення a у перше рівняння: 5a - 3b + 3c = 42 5 * 15 - 3b + 3c = 42 75 - 3b + 3c = 42 -3b + 3c = -33 -3(b - c) = -33 b - c = 11

Тепер ми знаємо a і b - c. Щоб знайти b і c, використаємо факт, що AC = c і BC = b:

c + b = 34 - 15 (знаємо, що периметр ABC дорівнює 34) c + b = 19

Тепер розв'яжемо систему рівнянь:

1. b - c = 11
2. c + b = 19

Отримаємо: b = 15 c = 4

Тепер ми знаємо всі сторони трикутника ABC:

a = 15 (сторона BC) b = 15 (сторона AC) c = 4 (сторона AB)