Question

На стороне ВС квадрата АВСD взята точка К такая, что угол KAD=60 градус . Отрезок КА пересекает диагональ ВD в точке Р, а биссектриса угла СКА пересекает сторону СD в точке N. Докажите, что треугольник СРN – равносторонний.

Answer 1

Квадрат симметричен относительно диагонали.

∠PAD=∠PCD=60 (симметрия) //или △ADP=△CDP по двум сторонам и углу между ними

∠AKC=180-∠KAD=120 (внутренние односторонние при параллельных)

∠PKN =120/2=60

Отрезок PN виден из K и С под равным углом => PKCN - вписанный

=> ∠PNC =180-∠PKC =60

∠PCN=∠PNC=60 => △CPN - равносторонний

Answer 2

Для доказательства, что треугольник СРN является равносторонним, давайте рассмотрим геометрические свойства данной фигуры.

Пусть у нас есть следующие обозначения:

1. A, B, C, D - вершины квадрата ABCD.
2. K - точка на стороне BC квадрата ABCD такая, что угол KAD равен 60 градусам.
3. P - точка пересечения отрезка KA и диагонали BD.
4. N - точка пересечения биссектрисы угла SKA и стороны CD.

Мы хотим доказать, что треугольник SRN является равносторонним.

Для начала, заметим следующее:

1. Угол KAD = 60 градусов, так как он задан в условии.
2. Угол KAP = 90 градусов, так как KA - высота квадрата ABCD и AD - его сторона.
3. Треугольник KAD - прямоугольный, так как угол KAD = 90 градусов.
4. Треугольник KAP - равнобедренный, так как KA = KP (стороны квадрата).

Теперь докажем следующее: 5. Угол AKB = 120 градусов. Это следует из того, что угол KAD = 60 градусов, и угол KAP = 90 градусов.

6. Угол KBA = 60 градусов, так как угол AKB = 120 градусов, и треугольник KAB является равнобедренным.

Теперь рассмотрим треугольник KSN: 7. Угол KSA = 90 градусов, так как SKA - биссектриса угла SKA.

8. Угол SKA = 180 - (60 + 60) = 60 градусов, так как сумма углов треугольника KAB равна 180 градусам.
9. Треугольник KSA - прямоугольный, так как угол KSA = 90 градусов, а угол SKA = 60 градусов.
10. Треугольник KSN - равнобедренный, так как KS = KA (по построению) и угол KSN = угол KNS = 60 градусов (из равенства углов SKA и KAB).

Теперь рассмотрим треугольник SRN: 11. Угол SNR = 180 - (60 + 60) = 60 градусов, так как сумма углов треугольника KSN равна 180 градусам.

12. Треугольник SRN - равнобедренный, так как SK = KN (по построению) и угол SNR = угол SRN = 60 градусов.

Таким образом, треугольник SRN является равнобедренным и имеет два угла по 60 градусов. Это означает, что треугольник SRN также является равносторонним. Доказано.