Question

(x ^ 2 - 25)/((x + 5)(x - 4)) < 0 Не могу понять как решить.. Распишите подробно, пожалуйста

Answer 1

вроде бы так должно получиться (самое нижнее икс в квадрате минус пять в квадрате и черту не пишите, это я обрезала фотку не полностью)

Answer 2

Для решения данного неравенства сначала найдем нули числителя и знаки в интервалах между ними и за пределами нулей. Затем определим знак выражения в каждом из этих интервалов.

Итак, у нас есть неравенство:

$\frac{x^2 - 25}{(x + 5)(x - 4)} < 0$

1. Найдем нули числителя $x^2 - 25$:

$x^2 - 25 = 0$

Это квадратное уравнение имеет два корня:

$x^2 - 25 = 0$

$(x - 5)(x + 5) = 0$

$x - 5 = 0 \implies x = 5$

$x + 5 = 0 \implies x = -5$

Таким образом, у нас есть два нуля: $x = -5$ и $x = 5$.

2. Разобьем вещественную ось на интервалы с использованием этих нулей. Эти интервалы будут:

• $(-\infty, -5)$
• $(-5, 4)$
• $(4, 5)$
• $(5, +\infty)$

3. Определим знаки выражения $\frac{x^2 - 25}{(x + 5)(x - 4)}$ в каждом из этих интервалов.

Для интервала $(-\infty, -5)$, выберем точку $x = -6$, которая находится в этом интервале. Подставим эту точку в выражение:

$\frac{(-6)^2 - 25}{(-6 + 5)(-6 - 4)} = \frac{36 - 25}{(-1)(-10)} = \frac{11}{10}$

Значение положительно.

Для интервала $(-5, 4)$, выберем точку $x = 0$, которая находится в этом интервале. Подставим эту точку в выражение:

$\frac{0^2 - 25}{(0 + 5)(0 - 4)} = \frac{-25}{(5)(-4)} = \frac{25}{20} = \frac{5}{4}$

Значение положительно.

Для интервала $(4, 5)$, выберем точку $x = 4.5$, которая находится в этом интервале. Подставим эту точку в выражение:

$\frac{(4.5)^2 - 25}{(4.5 + 5)(4.5 - 4)} = \frac{20.25 - 25}{(9.5)(0.5)} = \frac{-4.75}{4.75} = -1$

Значение отрицательно.

Для интервала $(5, +\infty)$, выберем точку $x = 6$, которая находится в этом интервале. Подставим эту точку в выражение:

$\frac{6^2 - 25}{(6 + 5)(6 - 4)} = \frac{36 - 25}{(11)(2)} = \frac{11}{22}$

Значение положительно.

4. Теперь определим, в каких интервалах выражение $\frac{x^2 - 25}{(x + 5)(x - 4)}$ отрицательно (меньше нуля). Это интервалы, в которых знаки выражения соответствуют знаку "<".

Из наших вычислений выше видно, что выражение отрицательно только в интервале $(4, 5)$.

Итак, решение данного неравенства - это интервал $(4, 5)$:

$\frac{x^2 - 25}{(x + 5)(x - 4)} < 0$ при $x \in (4, 5)$.

Это значит, что неравенство выполняется только в этом интервале.