Question

Угол между диаметром AB и хордой AC равен 30°. Через точку с проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точке D. Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.​

Answer 1

Дано:

Окр. (О;R)

AB=2R

∠CAB=30°

CD⌒AB=D

Доказать:

△ACD – равнобед.

Доказательство:

1) AD=OC=R, следовательно △AOC – равнобед.

∠C=∠A=30°

2) OC⊥ CD, следовательно ∠ACD=∠OCA+∠DCO

∠ACD=30°+90°=120°

3) △ACD: ∠ D+∠A+∠C=180°

∠D=30°+120°180°, ∠D=30°

∠A=∠D=30°, следовательно AC=CD

Ответ:

△ACD – равнобед.

Answer 2

Для доказательства того, что треугольник ACD равнобедренный, давайте рассмотрим следующие утверждения:

1. Угол между диаметром AB и хордой AC равен 30°. Это означает, что угол BAC (угол между хордой AC и радиусом AB, проведенным к точке A) равен 30°.

2. Так как AD - касательная к окружности, то угол ADC (угол между касательной AD и хордой AC) равен 90° (по свойству касательных и хорды, проведенной из точки касания перпендикулярна к радиусу, проведенному к этой точке).

3. Теперь мы знаем два угла в треугольнике ACD: угол BAC = 30° и угол ADC = 90°.

4. Из суммы углов в треугольнике мы можем найти третий угол:

   Угол CDA + Угол ADC + Угол BAC = 180°

   Угол CDA + 90° + 30° = 180°

   Угол CDA + 120° = 180°

Теперь найдем угол CDA:

Угол CDA = 180° - 120° = 60°

5. Таким образом, у нас есть угол BAC = 30° и угол CDA = 60° в треугольнике ACD.

6. Теперь давайте проверим равенство сторон треугольника ACD. Следующее утверждение необходимо для доказательства равнобедренности:

   Если угол BAC = 30°, то стороны AC и AD равны.

7. Так как угол BAC = 30°, то треугольник ABC является равносторонним, и все его стороны равны.

8. Таким образом, стороны AC и AB также равны.

9. Теперь мы знаем, что стороны AC и AB равны, и угол CDA = 60°.

10. Значит, треугольник ACD - это равнобедренный треугольник, так как у него две равные стороны AC и AD и угол CDA = 60°.

Мы доказали, что треугольник ACD является равнобедренным.