Question

Помогите, решить хотяб в 1 задании а,б,в К-5 Вариант 31. Точки А(-2; 4), В(-6; 12) и С(2; 8) являются вершинами параллелограмма ABCD. Найдите: а) координаты точки пересечения диагоналей; б) длины сторон параллелограмма; в) координаты его четвертой вершины.2. Запишите уравнения прямых, на которых лежат диагонали параллелограмма ABCD из задания 1.​

Answer 1

Точки А(-2; 4), В(-6; 12) и С(2; 8) являются вершинами параллелограмма ABCD. Найдите: а) координаты точки пересечения диагоналей; б) длины сторон параллелограмма; в) координаты его четвертой вершины.

Объяснение:

а) Пусть О-точка пересечения диагоналей , тогда по формулам середины отрезка  для АС

х=(-2+2):2=0,  у=(4+8):2=6  ⇒ О(0;6).

б)По свойству сторон параллеограмма AB=CD . BC=AD

По формуле расстояния между точками

АВ=√( (-6+2)²+(12-4)² )=√(16+64)=4√5 (ед)

ВС=√( (2+6)²+(8-12)² )=√(64+16)=4√5 (ед)

в)Вектор переноса точки В в точку А имеет координаты

ВА(-2+6;4-12) или ВА(4;-8).Тогда и равный ему вектор СD(4;-8).

Координаты точки D :

х(CD)=x(D)-x(C) ⇒ x(D)=4+2=6,

y(CD)=y(D)-y(C) ⇒ y(D)=-8+8=0 ,D( 6;0)

===============

Формула расстояния между точками d=√( (х₁-х₂)²+(у₁-у₂)² ), где (х₁;у₁ ), (х₂;у₂ ) -координаты концов отрезка.

Answer 2

Давайте решим по порядку каждое из заданий (а, б, в) и затем перейдем к уравнениям прямых, на которых лежат диагонали параллелограмма.

Задание а:

Чтобы найти координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма, возьмем среднюю точку между точками A и C для одной диагонали, и среднюю точку между точками B и D для другой диагонали. После этого найдем пересечение этих двух прямых.

Средняя точка между A и C: x = (-2 + 2) / 2 = 0 y = (4 + 8) / 2 = 6 Таким образом, координаты средней точки для одной диагонали: M1(0, 6).

Средняя точка между B и D: x = (-6 + 2) / 2 = -2 y = (12 + 4) / 2 = 8 Таким образом, координаты средней точки для другой диагонали: M2(-2, 8).

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точки M1 и M2, чтобы найти точку пересечения диагоналей:

Уравнение прямой: Уравнение прямой имеет вид: y = mx + b, где m - угловой коэффициент, b - свободный член.

Угловой коэффициент m: m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (8 - 6) / (-2 - 0) = 2 / -2 = -1

Теперь мы имеем уравнение прямой: y = -x + b.

Чтобы найти b, подставим координаты одной из средних точек (например, M1): 6 = -0 + b b = 6

Итак, уравнение прямой, на которой лежит одна из диагоналей параллелограмма, имеет вид: y = -x + 6

Задание б:

Чтобы найти длины сторон параллелограмма, используем формулы расстояния между двуми точками в декартовой системе координат.

Длина стороны AB: AB = sqrt((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2) = sqrt((-6 - (-2))^2 + (12 - 4)^2) = sqrt((-4)^2 + (8)^2) = sqrt(16 + 64) = sqrt(80) = 4*sqrt(5)

Длина стороны BC: BC = sqrt((x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2) = sqrt((2 - (-6))^2 + (8 - 12)^2) = sqrt((8)^2 + (-4)^2) = sqrt(64 + 16) = sqrt(80) = 4*sqrt(5)

Задание в:

Чтобы найти координаты четвертой вершины D параллелограмма, мы можем воспользоваться свойством параллелограмма: противоположные стороны параллельны и равны по длине.

Для нахождения точки D добавим к координатам точки C разность координат между B и A: x_D = x_C + (x_B - x_A) = 2 + (-6 - (-2)) = 2 - (-4) = 6

y_D = y_C + (y_B - y_A) = 8 + (12 - 4) = 8 + 8 = 16

Итак, координаты точки D: D(6, 16).

Уравнения прямых, на которых лежат диагонали параллелограмма:

Мы уже нашли, что одна из диагоналей лежит на прямой y = -x + 6.

Для второй диагонали используем тот же угловой коэффициент, но с другой начальной точкой, например, M2(-2, 8):

Уравнение прямой для второй диагонали: y = -x + b

Чтобы найти b, подставим координаты M2: 8 = -(-2) + b b = 8 + 2 b = 10

Итак, уравнение прямой, на которой лежит вторая диагональ параллелограмма, имеет вид: y = -x + 10.