Question

Через точку S вне окружности проведены касательные SB и SF, и через точку C на окружности проведена касательная, пересекающая отрезки SB и SF в точках A и D соответственно. Известно, что SB = 9, AD = 4. Найди периметр треугольника SAD.

Answer 1

Ответ:

18

..............................

Answer 2

Для нахождения периметра треугольника SAD, нам необходимо найти длины его сторон. Для этого воспользуемся свойствами касательных к окружности и использованием подобия треугольников.

Сначала заметим, что треугольник SBC подобен треугольнику SAD, так как у них два угла при вершине S равны (каждый из них равен 90 градусов), и угол BCS равен углу DAS (по теореме о равных углах между касательной и радиусом, проведенным к точке касания).

Поэтому мы можем использовать соотношение сторон треугольников SBC и SAD:

(SB / BC) = (SA / AD)

Мы знаем, что SB = 9 и AD = 4, а также BC = CD, так как это радиус окружности. Давайте обозначим длину BC (и CD) как x:

(9 / x) = (SA / 4)

Теперь нам нужно найти длину SA. Для этого мы можем воспользоваться теоремой Пифагора в треугольнике SBC:

SB^2 = SC^2 - BC^2 9^2 = SC^2 - x^2

SC^2 = 9^2 + x^2 SC = √(9^2 + x^2)

Теперь мы можем выразить SA:

(9 / x) = (√(9^2 + x^2) / 4)

Теперь решим это уравнение для x:

9 * 4 = x * √(9^2 + x^2)

36 = x * √(81 + x^2)

(36 / x) = √(81 + x^2)

(36^2 / x^2) = 81 + x^2

1296 / x^2 = 81 + x^2

1296 = 81x^2 + x^4

x^4 + 81x^2 - 1296 = 0

Теперь решим это уравнение. Заметим, что это квадратное уравнение относительно x^2:

(x^2)^2 + 81(x^2) - 1296 = 0

Проведем замену переменной: пусть t = x^2, тогда у нас будет:

t^2 + 81t - 1296 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

(t - 27)(t + 48) = 0

Из этого уравнения получаем два возможных значения t:

1. t = 27
2. t = -48 (но это отрицательное значение, которое не имеет смысла в данном контексте)

Теперь найдем x:

1. t = x^2 = 27 x = √27 = 3√3

Теперь, когда мы знаем значение x, мы можем найти SA:

SA = (9 / x) = 9 / (3√3) = 3√3

Теперь у нас есть значения всех сторон треугольника SAD: SA = 3√3, AD = 4 и SD = 9 (по условию). Теперь можем найти периметр треугольника SAD:

Периметр SAD = SA + AD + SD Периметр SAD = 3√3 + 4 + 9

Периметр треугольника SAD = 3√3 + 13.