Question

Помогите, пожалуйста! Это срочно. За правильный ответ дам 25 баллов. Ребро правильного тетраэдра равно 2 , а ребро правильного октаэдра — 6 . Во сколько раз площадь поверхности октаэдра больше площади поверхности тетраэдра?

Answer 1

Ответ:

В 18 раз.

Объяснение:

Ребро правильно тетраэдра равно 2, а правильного октаэдра 6.

Во сколько раз площадь поверхности октаэдра больше площади поверхности тетраэдра?

Решение:

Смотрите рисунки.

Тетраэдр состоит из 4 треугольников. Октаэдр - из 8 треугольников.

Если бы ребро октаэдра было тоже равно 2, то его площадь поверхности была бы в 2 раза больше площади тетраэдра.

Но у него ребро в 3 раза больше, чем у тетраэдра, поэтому надо еще умножить на 3^2 = 9.

Таким образом, площадь поверхности октаэдра в 2*9 = 18 раз больше, чем площадь поверхности тетраэдра.

Answer 2

Для решения этой задачи нам необходимо найти площадь поверхности тетраэдра и октаэдра, а затем вычислить, во сколько раз площадь поверхности октаэдра больше площади поверхности тетраэдра.

1. Площадь поверхности тетраэдра:

У тетраэдра 4 треугольных грани. Площадь одной треугольной грани равна: $S_{\text{тетраэдр}} = \frac{1}{2} \times \text{длина ребра} \times \text{высота треугольника}$

Для правильного тетраэдра с длиной ребра $a$, его высота равна $\frac{\sqrt{2}}{2} \times a$ (можно найти, используя прямоугольный треугольник, где одна сторона равна половине ребра, а другая — радиусу вписанной сферы, который равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ от ребра).

$S_{\text{тетраэдр}} = 4 \times \frac{1}{2} \times a \times \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \times a\right)$

$S_{\text{тетраэдр}} = \frac{\sqrt{2} \times a^2}{2}$

2. Площадь поверхности октаэдра:

У правильного октаэдра 8 треугольных граней. Площадь одной треугольной грани равна: $S_{\text{октаэдр}} = \frac{1}{2} \times \text{длина ребра} \times \text{длина высоты к треугольнику}$

Для правильного октаэдра с длиной ребра $b$, его высота к треугольнику равна $\frac{\sqrt{2}}{2} \times b$.

$S_{\text{октаэдр}} = 8 \times \frac{1}{2} \times b \times \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \times b\right)$

$S_{\text{октаэдр}} = 2\sqrt{2} \times b^2$

3. Отношение площадей:

Теперь найдем отношение площади поверхности октаэдра к площади поверхности тетраэдра:

$\frac{S_{\text{октаэдр}}}{S_{\text{тетраэдр}}} = \frac{2\sqrt{2} \times b^2}{\frac{\sqrt{2} \times a^2}{2}}$

$\frac{S_{\text{октаэдр}}}{S_{\text{тетраэдр}}} = 4 \times \left(\frac{b}{a}\right)^2$

Теперь подставим данные, которые у нас есть: $a = 2$ (ребро тетраэдра) и $b = 6$ (ребро октаэдра).

$\frac{S_{\text{октаэдр}}}{S_{\text{тетраэдр}}} = 4 \times \left(\frac{6}{2}\right)^2 = 4 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$

Итак, площадь поверхности октаэдра в 36 раз больше площади поверхности тетраэдра.