Question

Окружность задана уравнением (x − 3)2 + (y + 4)2 = 25. Составьте уравнение окружности, которая симметрична заданной окружности относительно: а) точки (−1; 3) (15 баллов); б) оси абсцисс (15 баллов).

Answer 1

Центр данной окружности: (3,-4), радиус 5.
достаточно найти центр новой окружности, радиус останется тем же.

Б) Симметрия точки относительно прямой: точки О и О1 симметричны относительно прямой ОХ, если ОХ срединный перпендикуляр ОО1.

Точка О1 (3,4) х тот же, y противоположный.

(х-3)^2+(y-4)^2=25

A) симметрия относительно точки: надо провести прямую через точки О(3,-4) и А(-1,3) и на продолжении отложить тот же отрезок. По х от О до А: 3-(-1)=4

От А до О2 тоже 4: -1-4=-5

По y от О до А: 3-(-4)=7

От А до О2 тоже 7: 4+7=11

Центр новой окружности О2(-5,11)

(х+5)^2+(х-11)^2=25

Answer 2

а) Чтобы найти уравнение окружности, симметричной заданной окружности относительно точки (−1; 3), мы можем использовать следующую формулу для симметрии относительно точки (h, k):

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

где (h, k) - координаты центра новой окружности, r - радиус новой окружности. В данном случае, (h, k) = (−1, 3), а радиус новой окружности будет таким же, как и у заданной, то есть r = √25 = 5.

Теперь мы можем подставить значения в уравнение:

(x - (-1))^2 + (y - 3)^2 = 5^2

Упростим уравнение:

(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 25

Это уравнение описывает окружность, симметричную заданной окружности относительно точки (−1; 3).

б) Чтобы найти уравнение окружности, симметричной заданной окружности относительно оси абсцисс, мы должны заменить y на -y в уравнении заданной окружности:

(x − 3)^2 + (-y + 4)^2 = 25

Упростим это уравнение:

(x − 3)^2 + (y - 4)^2 = 25

Теперь у нас есть уравнение окружности, симметричной заданной окружности относительно оси абсцисс.