Question

Точки M і N — середини основ AD і BC трапеції ABCD відповідно. На сторонах AB і CD позначили точки P і Q відповідно так, що PQ || AD (AP ≠PB). Доведіть, що прямі PN, MQ і AC перетинаються в одній точці.

Answer 1

Ответ:

...............................................

Объяснение:

Answer 2

Для доведення цього твердження розглянемо трикутники MPN і MQN.

Для початку, зазначимо, що M і N - середини відповідних сторін трапеції ABCD. Отже, за визначенням середини, AM = MD і BN = NC.

Тепер давайте розглянемо сторони трикутників MPN і MQN:

1. MP - це середня лінія трапеції ABCD, тобто MP = (AD + BC) / 2.
2. NQ - також є середньою лінією трапеції ABCD, отже, NQ = (AD + BC) / 2.

Оскільки MP = NQ і PQ || AD, то за теоремою про внутрішній кут бічної лінії, можна сказати, що трикутники MPN і MQN подібні за правилом короткого бічного відрізка до довгого бічного відрізка:

MPN подібний до MQN.

Тепер давайте розглянемо прямі AC і PN.

1. Розглянемо точку A, яка є вершиною трапеції ABCD і однією з вершин трикутника MPN.
2. Розглянемо точку C, яка є другою вершиною трапеції ABCD і другою вершиною трикутника MPN.

Оскільки вони є вершинами одного і того ж трикутника MPN, пряма AC буде однією з його сторін. Таким чином, пряма AC перетинається зі стороною PN трикутника MPN.

Тепер давайте розглянемо прямі MQ і AC.

1. Розглянемо точку M, яка є вершиною трикутника MPN і однією з вершин трикутника MQN.
2. Розглянемо точку Q, яка є другою вершиною трикутника MQN і другою вершиною трикутника MPN.

Оскільки вони є вершинами одного і того ж трикутника MQN, пряма MQ буде однією з його сторін. Таким чином, пряма MQ перетинається зі стороною AC трикутника MQN.

Отже, ми довели, що прямі PN, MQ і AC перетинаються в одній точці, і тим самим завершили доведення.