Question

На продовженні основи АС рівнобедренного ∆ АВС за точку А позначили точку К. Доведіть що ВК>АК

Answer 1

Оскільки ∆ABC - рівнобедрений, маємо AB = AC. Отже, основа BC ділиться на дві рівні частини точкою A. Нехай M - середина BC. Тоді AM - бісектриса, перпендикулярна до BC.

Оскільки K - це точка на продовженні BC за межами C, маємо AK = AC + CK, а BK = BM + MK.

Тепер нам потрібно довести, що BK > AK. Ми можемо переписати цю нерівність як BM + MK > AC + CK. Оскільки AM - це бісектриса, перпендикулярна до BC, маємо BM = MC. Підставивши це у наведену вище нерівність, отримаємо MC + MK > AC + CK.

Тепер розглянемо ∆AMK і ∆ABC. Маємо AM = AM (спільна сторона), MK > CK (оскільки K лежить праворуч від C), а ∠AMK > ∠ABC (оскільки CK є продовженням BC за межами C). Отже, за нерівністю кутів маємо AMK > ABC.

Тепер ми можемо використати той факт, що сума двох кутів при основі рівнобедреного трикутника більша за третій кут, щоб зробити висновок, що ∠ABC > ∠BAC. Отже, маємо AC > AB/2 = MC.

Підставивши ці нерівності у попередню нерівність, отримаємо MC + MK > AC + CK > MC + CK. Отже, BK > AK, як і вимагалося.

Отже, ми довели, що в рівнобедреному ∆ABC, якщо точка K позначена на продовженні основи AC за межами C, то BK > AK.

Answer 2

Для доведення, що в рівнобедреному трикутнику ∆АВС, де ∠А = ∠С, сторона ВК є більшою за сторону АК, спростимо цю задачу за допомогою трикутників та властивостей рівнобедреного трикутника.

Оскільки трикутник ∆АВС є рівнобедреним, то ми знаємо, що сторони АВ і СВ рівні (АВ = СВ).

Також, оскільки точка К є продовженням сторони АВ, ми можемо сказати, що сторона АК є частиною сторони АВ, тобто АК < АВ.

Застосуємо тепер нерівність трикутників для трикутників ∆АКВ і ∆СКВ:

У трикутнику ∆АКВ:

• Сторона АК є меншою за сторону АВ (АК < АВ).
• Сторона ВК є спільною для обох трикутників.

У трикутнику ∆СКВ:

• Сторона СВ є меншою за сторону АВ (СВ < АВ).
• Сторона ВК є спільною для обох трикутників.

Тепер ми можемо висловити відношення між сторонами цих двох трикутників:

У трикутнику ∆АКВ: АК < АВ, ВК - спільна сторона. У трикутнику ∆СКВ: СВ < АВ, ВК - спільна сторона.

За правилом внутрішньої сторони та спільної сторони в трикутниках можна сказати, що сторона ВК у трикутнику ∆АКВ більша за сторону ВК у трикутнику ∆СКВ:

ВК (у ∆АКВ) > ВК (у ∆СКВ).

З огляду на те, що сторона ВК спільна для обох трикутників, ми можемо висловити нашу остаточну нерівність:

ВК (у ∆АКВ) > ВК (у ∆СКВ).

Отже, ми довели, що сторона ВК у рівнобедреному трикутнику ∆АКВ більша за сторону АК, тобто ВК > АК.