Question

Висоти гострокутного трикутника АВС перетинаються в точці Н. Пряма, що містить висоту, проведену з вершини С, вдруге перетинає описане коло трикутника в точці К. Доведіть, що сторона АВ перетинає відрі- зок НК в його середині.

Answer 1

Высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Прямая, содержащий высоту, проведенную из вершины С, вторично пересекает описанную окружность около треугольника в точке К. Докажите, что сторона АВ пересекает отрезок НК в его середине.

Решение.

1) ΔАРН ∼ ΔСМН по 2-м углам : ∠АНР=∠СНМ как вертикальные , ∠АРН=∠СМН=90 ⇒ соответственные углы равны ∠РАН=∠МСН.

2) Но угол ∠МСН это вписанный угол , опирающийся на хорду КВ. На эту же хорду КВ опирается и вписанный ∠КАВ ⇒ ∠КАВ=∠МСН.

Поэтому ∠РАН=∠КАВ или ∠РАН=∠КАР .

3) ΔКАР= ΔНАР как прямоугольные по катету и острому углу ::

АР-общая, ∠КАР=∠РАН .

В равных треугольниках соответственные элементы равны ⇒ КР=РН.

Answer 2

Для доведення цього твердження ми можемо скористатися властивістю перпендикуляра, проведеного до хорди кола, яка проходить через центр кола, щоб довести, що точка перетину сторони АВ і відрізка НК лежать в одній і тій же точці.

1. Позначимо центр описаного кола трикутника АВС як точку О.

2. Оскільки НК є хордою кола і перпендикулярною до хорди, вона проходить через центр кола О. Тобто НК - це радіус кола.

3. Розглянемо трикутник АОК. Він має одну сторону - радіус ОК, і дві рівні сторони (АО і ОК), оскільки вони є радіусами кола. Тому трикутник АОК є рівнобедреним.

4. Оскільки трикутник АОК рівнобедрений, то медіана АН є також медіаною трикутника АОК. Це означає, що вона перетинає сторону КО (НК) в її середині.

5. Оскільки відрізок НК є частиною медіани АН, і медіана перетинає сторону АВ в її середині, то сторона АВ перетинає відрізок НК також в його середині.

Отже, доведено, що сторона АВ перетинає відрізок НК в його середині.