Question

При яких значення x вектори а (x;-5;8) і b (x;2x;-3) перпендикулярні?

Answer 1

Ответ:

Для того, чтобы векторы $a$ и $b$ были перпендикулярными, их скалярное произведение должно равняться нулю:

�

⋅

�

=

�

⋅

�

+

(

−

5

)

⋅

(

2

�

)

+

8

⋅

(

−

3

)

=

0

a⋅b=x⋅x+(−5)⋅(2x)+8⋅(−3)=0

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

�

2

−

10

�

−

24

=

0

x

2

−10x−24=0

Решаем полученное квадратное уравнение:

�

1

,

2

=

10

±

1

0

2

−

4

⋅

1

⋅

(

−

24

)

2

⋅

1

=

10

±

136

2

=

5

±

2

34

x

1,2

=

2⋅1

10±

10

2

−4⋅1⋅(−24)

=

2

10±

136

=5±2

34

Таким образом, векторы $a$ и $b$ будут перпендикулярными при $x = 5 + 2\sqrt{34}$ или $x = 5 - 2\sqrt{34}$.

Answer 2

Два вектори a і b перпендикулярні, коли їхні скалярні добутки дорівнюють нулю. Скалярний добуток двох векторів a і b обчислюється за формулою:

a ∙ b = (ax * bx) + (ay * by) + (az * bz)

У нашому випадку:

a = (x, -5, 8) b = (x, 2x, -3)

ax = x, ay = -5, az = 8 bx = x, by = 2x, bz = -3

Тепер обчислимо скалярний добуток a і b:

a ∙ b = (x * x) + (-5 * 2x) + (8 * -3)

a ∙ b = x^2 - 10x - 24

Тепер, щоб знайти значення x, при яких вектори a і b перпендикулярні, ми повинні прирівняти скалярний добуток до нуля і розв'язати рівняння:

x^2 - 10x - 24 = 0

Тепер ми можемо використовувати квадратне рівняння для знаходження значень x:

(x - 12)(x + 2) = 0

З цього рівняння видно, що можуть бути два значення x, при яких вектори a і b перпендикулярні:

1. x = 12
2. x = -2

Отже, вектори a і b будуть перпендикулярні при цих двох значеннях x: x = 12 і x = -2.