Question

2. У просторі дано вектори a(1,1,0) і B(0,1,1). Укажіть які з вказаних тверджень є вірними. 1) довжини векторів а і в рівні; 2) скалярний добуток векторiв а і в дорівнює2; 3) кут між векторами а і в дорівнює 120*; 4) (а+в)(а-в)=0 Завдання повинні бути з розв'язкамиможна будь ласка поскоріше , хто зможе , допоможіть , буду дуже вдячна, залишаю вам 100 балів ❤️❤️❤️​

Answer 1

Для розв'язання цієї задачі використаємо формули для розрахунку довжин векторів, скалярного добутку та кута між векторами:

Довжина вектора: ||a|| = sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2)

Скалярний добуток: a * b = a1b1 + a2b2 + a3*b3

Кут між векторами: cos(theta) = (a * b) / (||a|| * ||b||)

1) Довжини векторів а і b:

||a|| = sqrt(1^2 + 1^2 + 0^2) = sqrt(2)

||b|| = sqrt(0^2 + 1^2 + 1^2) = sqrt(2)

Довжини векторів а і b різні, тому це твердження невірне.

2) Скалярний добуток векторів а і b:

a * b = 11 + 10 + 0*1 = 1

Скалярний добуток векторів а і b не дорівнює 2, тому це твердження невірне.

3) Кут між векторами а і b:

cos(theta) = (a * b) / (||a|| * ||b||) = 1 / (sqrt(2) * sqrt(2)) = 1/2

theta = arccos(1/2) = 60 градусів

Кут між векторами а і b дорівнює 60 градусів, тому це твердження вірне.

4) (a + b) (a - b) = (a^2 - b^2)

a + b = (1,1,0) + (0,1,1) = (1,2,1)

a - b = (1,1,0) - (0,1,1) = (1,0,-1)

(a + b) (a - b) = (1,2,1) (1,0,-1) = 11 + 20 + 1*(-1) = 0

(a^2 - b^2) = (1^2 + 1^2 + 0^2) - (0^2 + 1^2 + 1^2) = -1

(a + b) (a - b) не дорівнює (a^2 - b^2), тому це твердження невірне.

Отже, тільки твердження 3 є вірним.

Answer 2

Давайте розглянемо кожне твердження окремо:

1. Довжини векторів a і b: Довжина вектора a: |a| = √(1^2 + 1^2 + 0^2) = √2 Довжина вектора b: |b| = √(0^2 + 1^2 + 1^2) = √2

Обидва вектори мають однакову довжину |a| = |b| = √2, тому це твердження вірне.

2. Скалярний добуток векторів a і b: Скалярний добуток двох векторів обчислюється за формулою: a·b = |a| * |b| * cos(θ), де θ - кут між векторами.

|a| = √2 |b| = √2

Тепер нам потрібно знайти кут між векторами a і b, щоб обчислити скалярний добуток. Кут між векторами a і b можна знайти за допомогою формули:

cos(θ) = (a·b) / (|a| * |b|)

cos(θ) = (a·b) / (√2 * √2) = (a·b) / 2

З твердженням, що скалярний добуток a і b дорівнює 2, ми можемо записати:

2 = (a·b) / 2

Помножимо обидві сторони на 2:

4 = a·b

Отже, скалярний добуток векторів a і b дорівнює 4. Таким чином, це твердження невірне.

3. Кут між векторами a і b: Як вже було розраховано у попередньому відповіді, cos(θ) = (a·b) / (|a| * |b|), і ми встановили, що cos(θ) = 2 / 4 = 1/2.

Тепер нам потрібно знайти кут θ, використовуючи обернену косинусну функцію:

θ = arccos(1/2) = 60 градусів.

Отже, кут між векторами a і b дорівнює 60 градусів.

4. (a + b) * (a - b): (a + b) * (a - b) = aa - ab + ba - bb = |a|^2 - |b|^2 = 2 - 2 = 0

Отже, вираз (a + b) * (a - b) дорівнює 0.

У підсумку:

1. Вірно, довжини векторів a і b однакові.
2. Невірно, скалярний добуток a і b дорівнює 4, а не 2.
3. Вірно, кут між векторами a і b дорівнює 60 градусів.
4. Вірно, (a + b) * (a - b) дорівнює 0.