Question

В прямоугольном треугольнике ABC высота CH, проведенная из вершины прямого угла, в четыре раза меньше гипотенузы. Найдите острые углы треугольника ABC.

Answer 1

Ответ:

Объяснение: Воспользуемся тем фактом, что угол может быть определен одним из своих значений синуса или косинуса, или тангенса.  Так, тангенс острого угла в прямоугольном  треугольнике определяется как отношение соответствующих катетов. В заданном треугольнике АВС катеты неизвестны и неизвестны их связи с заданным соотношением между СН и гипотенузой АВ, поэтому поищем другие прямоугольные треугольники, которые образованы высотой СН: треугольник АСН и СНВ. Остановимся на одном из них, например, АСН. В нем задействованы СН и какая-то часть АВ, а именно АН. Если удастся АН выразить через СН, то отношение даст нам тангенс искомого острого угла А, что и требуется в задаче. Используем теорему о связи высоты, опущенной из прямого угла на гипотенузу, с отрезками, на которые высота делит гипотенузу: квадрат СН равен произведению отрезков на которые поделилась гипотенуза. Обозначив, например,  АН через х и приняв во внимание, ВН=АВ-АН и АВ=4СН, мы получим уравнение из которого найдем х, то есть АН, выраженное через СН. х=АН=СН(2+корень квадратный из числа 3).

Искомый угол А будет определен своим тангенсом, а именно отношением СН к АН, равным: (2 минус корень квадратный из числа 3). Аналогично из треугольника СНВ находится тангенс угла В, который равен (2 плюс корень квадратный из числа 3).

Answer 2

Пусть гипотенуза треугольника ABC равна C, а высота, проведенная из вершины прямого угла, равна H. По условию, H = C/4.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего к гипотенузе. Таким образом, sin(угол C) = H/C.

Теперь мы можем использовать формулу синуса для нахождения острого угла C:

sin(угол C) = H/C = (C/4) / C = 1/4.

Теперь найдем угол C, используя арксинус (обратную функцию синуса):

угол C = arcsin(1/4).

Используя калькулятор, найдем значение arcsin(1/4):

угол C ≈ 14.48 градусов (округлим до двух десятичных знаков).

Теперь мы знаем угол C. Чтобы найти острый угол B, мы можем использовать то, что сумма углов треугольника равна 180 градусам:

угол B = 90 градусов (прямой угол) - угол C ≈ 90 градусов - 14.48 градусов ≈ 75.52 градусов.

Теперь у нас есть два острых угла треугольника ABC:

Угол B ≈ 75.52 градусов. Угол C ≈ 14.48 градусов.