Question

Знайти точку перетину площини АВС (яка проходить через точки А,В,С ) і прямої L, що проходить через точку М перпендикулярно до площини АВС, якщо: А(3,3,1) В(-1,3,-2) С(1,0,-2) М(7,3,4)

Answer 1

Нормальний вектор площини АВС можна знайти з векторного добутку векторів AB і AC:

AB = B - A = (-1, 3, -2) - (3, 3, 1) = (-4, 0, -3)

AC = C - A = (1, 0, -2) - (3, 3, 1) = (-2, -3, -3)

Нормальний вектор N буде дорівнювати їх векторному добутку:

N = AB × AC = (-4, 0, -3) × (-2, -3, -3) = (9, -6, -12)

Таким чином, рівняння площини АВС:

9x - 6y - 12z + D = 0

Щоб знайти D, підставимо координати будь-якої точки, наприклад, точки С:

9(1) - 6(0) - 12(-2) + D = 0

D = -9

Таким чином, рівняння площини АВС:

9x - 6y - 12z - 9 = 0

Пряма L проходить через точку М і її напрямний вектор буде збігатися з вектором N, оскільки він перпендикулярний до площини АВС:

L: r = (7, 3, 4) + t(9, -6, -12)

Точку перетину площини та прямої можна знайти, підставивши рівняння прямої в рівняння площини:

9(7 + 9t) - 6(3 - 6t) - 12(4 - 12t) - 9 = 0

Розв’язавши це рівняння, отримаємо t = -1/3. Підставляємо значення t в рівняння прямої, щоб знайти точку перетину:

r = (7, 3, 4) + (-1/3)(9, -6, -12) = (4, 5, 0)

Точка перетину площини та прямої має координати (4, 5, 0).

Answer 2

Для знаходження точки перетину площини ABC і прямої L, спочатку ми повинні знайти рівняння площини ABC та рівняння прямої L. Потім ми знайдемо їх перетин.

1. Рівняння площини ABC: Площина ABC може бути задана через векторну нормаль і одну точку в площині. Векторна нормаль площини може бути знайдена за допомогою векторного добутку двох векторів, лежащих у площині. Візьмемо два вектори, напрямлені від точки A до точок B і C:

Вектор AB = B - A = (-1, 3, -2) - (3, 3, 1) = (-4, 0, -3) Вектор AC = C - A = (1, 0, -2) - (3, 3, 1) = (-2, -3, -3)

Тепер знайдемо векторну нормаль за допомогою векторного добутку AB і AC:

N = AB × AC = i * (-4) - j * 0 + k * (-3) - i * (-2) + j * (-3) + k * (-3) = (-12i - 6j + 12k)

Тепер ми знаємо векторну нормаль площини ABC і можемо записати рівняння площини в точковій формі, використовуючи точку A (3, 3, 1):

-12x - 6y + 12z = -12x - 6y + 12z = 0

2. Рівняння прямої L: Пряма L проходить через точку М (7, 3, 4) і перпендикулярно до площини ABC. Так як вектор N є векторною нормаллю площини, він також є напрямним вектором прямої L. Тому рівняння прямої L можна записати в параметричній формі:

x = 7 - 12t y = 3 - 6t z = 4 + 12t

3. Знайдемо точку перетину: Тепер ми можемо встановити рівняння площини ABC і рівняння прямої L, щоб знайти точку їх перетину. Підставляючи рівняння прямої L в рівняння площини ABC, отримаємо:

-12(7 - 12t) - 6(3 - 6t) + 12(4 + 12t) = 0

Розв'яжемо це рівняння для t:

-84t + 132 = 0 -84t = -132 t = 132 / 84 t = 11/7

Тепер, підставляючи значення t у рівняння прямої L, ми знайдемо координати точки перетину:

x = 7 - 12 * (11/7) = 7 - 12 = -5 y = 3 - 6 * (11/7) = 3 - 66/7 = 9/7 z = 4 + 12 * (11/7) = 4 + 132/7 = 188/7

Отже, точка перетину площини ABC і прямої L має координати (-5, 9/7, 188/7).