Question

Через вершину конуса і хорду його основи проведено площину, яка утворює з основою конуса кут 60°. Знайдіть об’єм конуса, якщо цю хорду видно з центра основи конуса під кутом 90° і вона віддалена від центра основи на 6 см. (желательно ответ с рисунком)

Answer 1

Ответ:

r² = (R-6)² + H²,

R² = r² + H².

Розв'язавши ці рівняння відносно R та H, отримаємо:

R = (r² + 36)/(2r),

H = √(r² - R²) = √(r² - (r² + 36)²/(4r²)).

Об'єм конуса можна знайти за формулою V = (1/3)πR²H. Підставляючи знайдені значення для R та H, отримаємо:

V = (1/3)π[(r² + 36)/(2r)]² √(r² - (r² + 36)²/(4r²)).

Цю формулу можна спростити, замінивши √(r² - (r² + 36)²/(4r

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі нам потрібно знайти радіус основи конуса та висоту конуса. Потім ми можемо використовувати формулу для об'єму конуса.

Означимо наступні величини:

• $R$ - радіус основи конуса,
• $h$ - висота конуса,
• $d$ - відстань від центра основи конуса до хорди.

Дано, що хорда віддалена від центра основи на 6 см, отже, $d = 6$ см. Відомо також, що хорда видно з центра основи під кутом 90°, тобто ми маємо прямокутний трикутник, в якому гіпотенуза (хорда) має довжину 6 см, а одна з катетів має довжину $R$ (половина основи конуса).

За теоремою Піфагора, ми можемо знайти $R$: $R^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 + h^2$ $R^2 = 3^2 + h^2$ $R = \sqrt{9 + h^2}$

Далі, ми знаємо, що утворений площиною кут між хордою і основою конуса дорівнює 60°. Оскільки радіус є стороною прямокутного трикутника, то можемо використовувати тангенс цього кута: $\tan(60°) = \frac{h}{R}$ $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{h}{\sqrt{9 + h^2}}$ $h\sqrt{9 + h^2} = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{9 + h^2}$ $h = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Тепер, маючи значення $h$, ми можемо знайти радіус $R$: $R = \sqrt{9 + h^2} = \sqrt{9 + \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = 2$

Об'єм конуса можна знайти за формулою: $V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$ $V = \frac{1}{3} \pi (2)^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ $V = \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ $V = \frac{4\pi}{3\sqrt{3}} \, \text{см}^3$

Додатково наведу рисунок для більшої ясності:

bashCopy code
      /\
     /  \
    /    \
   /      \
  /________\
     2R      <- радіус основи
    /   \
   /     \
  /_______\   <- хорда
     d = 6 cm
  /         \
 /           \
/____________\
      h

Будь ласка, перевірте розрахунки, оскільки може бути помилка.