Question

Дослідіть дану функцію та побудуйте її графік: f(x)=3+2x²-x⁴

Answer 1

Для дослідження функції f(x) = 3 + 2x^2 - x^4 спочатку розглянемо її поведінку при рості та спаді значень аргументу x.

1. Область визначення:

Функція f(x) визначена для будь-якого значення x.

2. Похідна функції:

f'(x) = 4x - 4x^3 = 4x(1 - x^2).

3. Точки екстремуму:

f'(x) = 0, коли 4x(1 - x^2) = 0.

Це рівносильно 4x = 0 або 1 - x^2 = 0.

Отже, маємо дві критичні точки: x = 0 та x = ±1.

4. Відношення до осей координат:

Підставимо значення x = 0 у функцію f(x):

f(0) = 3 + 2(0)^2 - (0)^4 = 3.

Отже, функція перетинає ось Oy в точці (0, 3).

5. Поведінка функції на відрізках між критичними точками:

a) При x < -1:

f(x) = 3 + 2x^2 - x^4 < 3 + 2(-1)^2 - (-1)^4 = 2.

Тому функція f(x) менша за 2 на цьому відрізку.

b) При -1 < x < 0:

f(x) = 3 + 2x^2 - x^4 > 3 + 2(-1)^2 - (-1)^4 = 2.

Тому функція f(x) більша за 2 на цьому відрізку.

c) При 0 < x < 1:

f(x) = 3 + 2x^2 - x^4 > 3 + 2(0)^2 - (0)^4 = 3.

Тому функція f(x) більша за 3 на цьому відрізку.

d) При x > 1:

f(x) = 3 + 2x^2 - x^4 < 3 + 2(1)^2 - (1)^4 = 2.

Тому функція f(x) менша за 2 на цьому відрізку.

6. Поведінка функції на краях відрізків:

a) При x → -∞:

f(x) → -∞.

b) При x → +∞:

f(x) → -∞.

Тепер побудуємо графік функції f(x):

```plaintext

|

3 +

|

| +

|

будь ласка ПОЗНАЧТЕ як найкращу відповідь

Answer 2

Для початку дослідимо дану функцію, знайдемо її значення для різних значень x та побудуємо її графік. Функція f(x) дана формулою:

f(x) = 3 + 2x² - x⁴

Давайте обчислимо значення f(x) для декількох значень x:

1. x = -2: f(-2) = 3 + 2*(-2)² - (-2)⁴ = 3 + 8 - 16 = -5

2. x = -1: f(-1) = 3 + 2*(-1)² - (-1)⁴ = 3 + 2 - 1 = 4

3. x = 0: f(0) = 3 + 2*0² - 0⁴ = 3 + 0 - 0 = 3

4. x = 1: f(1) = 3 + 2*1² - 1⁴ = 3 + 2 - 1 = 4

5. x = 2: f(2) = 3 + 2*2² - 2⁴ = 3 + 8 - 16 = -5

Тепер ми можемо побудувати графік цієї функції:

luaCopy code
  ^
  |       *           
4 |            *       
  |              *     
  |               *    
3 |                *   
  |                 *  
  |                  * 
2 |                   *
  |                   *  
  |                   *  
1 |                 *    
  |               *      
  |            *         
0 +---------------------
   -2   -1    0    1    2

Це наближений графік функції f(x). Я використовував лише кілька точок, але ви можете продовжити обчислення та побудувати більше точок, якщо потрібно. Графік показує, як змінюється значення функції f(x) відносно x, і видно, що ця функція має два максимуми і два мінімуми.