Question

Периметри подібних многокутників відносяться як 2:5, а різниця їхніх площ дорівнює 126см². Знайти площі цих многокутників. даю 50 бал.​

Answer 1

Ответ:  S1= 24 cm² , S2=150 cm²

Объяснение:

Если периметры подобных многоугольников относятся как

2/5, так коэффициент подобия к=5/2

Тогда площадь большего S2  выражается через площадь меньшего

S1 как  S2=k²·S1 =>  k²·S1 -S1=126 => S1 (k²-1) =126

=> S1*(25/4-1)=126 => S1 *(21/4)=126

S1=126*4/21= 24 cm²

S2=S1+126 = 24+126=150 cm²

Answer 2

Спробуймо розв'язати цю задачу.

Нехай перший многокутник має периметр P₁, а його площа S₁. А другий многокутник має периметр P₂ і площу S₂. За умовою задачі відомо, що співвідношення їх периметрів дорівнює 2:5, тобто:

P₁/P₂ = 2/5

Також відомо, що різниця їхніх площ дорівнює 126 см²:

S₁ - S₂ = 126

Ми можемо виразити один із периметрів відносно іншого з першого співвідношення:

P₁ = (2/5) * P₂

Тепер ми можемо виразити площу S₁ через S₂ та P₂:

S₁ = S₂ + 126 (за умовою) -----(1) P₁ = (2/5) * P₂ -----(2)

Тепер давайте згадаємо формулу для площі многокутника. Площа многокутника дорівнює половині добутку периметра на радіус вписаного кола (R):

S = (1/2) * P * R

Також, згідно з означенням подібних многокутників, співвідношення між площами таких многокутників дорівнює квадрату співвідношення їхніх сторін. Оскільки в нас є два подібних многокутника зі співвідношенням периметрів 2:5, то співвідношення їхніх сторін дорівнює квадрату цього співвідношення:

(сторона₁ / сторона₂)² = (2/5)² = 4/25

Тепер можемо записати співвідношення між радіусами вписаних кол:

(R₁ / R₂)² = 4/25

З формули для площі многокутника можемо виразити радіус R:

R = S / (1/2 * P)

Тепер ми можемо записати співвідношення між радіусами R₁ і R₂:

(R₁ / R₂)² = (S₁ / (1/2 * P₁)) / (S₂ / (1/2 * P₂))

З виразів (1) і (2) можемо підставити значення P₁ і P₂:

(R₁ / R₂)² = (S₁ / (1/2 * (2/5) * P₂)) / (S₂ / (1/2 * P₂))

(R₁ / R₂)² = (5/2) * (S₁ / S₂)

Тепер ми маємо два рівняння для R₁ / R₂:

(R₁ / R₂)² = 4/25 (R₁ / R₂)² = (5/2) * (S₁ / S₂)

Поставимо їх у вигляді рівностей:

4/25 = (5/2) * (S₁ / S₂)

Тепер розв'яжемо це рівняння відносно S₁ / S₂:

S₁ / S₂ = (4/25) / (5/2)

Спростимо:

S₁ / S₂ = (4/25) * (2/5)

S₁ / S₂ = 8/125

Тепер ми знаємо співвідношення між площами S₁ і S₂:

S₁ = (8/125) * S₂

Тепер ми можемо підставити це співвідношення в рівняння (1) і отримати вираз для S₂:

(8/125) * S₂ = S₂ + 126

Розв'яжемо це рівняння:

(8/125) * S₂ - S₂ = 126

Переносимо S₂ на один бік:

(8/125 - 1) * S₂ = 126

(8/125 - 125/125) * S₂ = 126

(-117/125) * S₂ = 126

Тепер ділимо обидві сторони на -117/125:

S₂ = 126 / (-117/125)

S₂ = (126 * 125) / (-117)

S₂ = -1350

Отже, площа другого многокутника S₂ дорівнює -1350 см².

Тепер ми можемо знайти площу першого многокутника S₁:

S₁ = (8/125) * S₂ = (8/125) * (-1350) = -8640/125 = -69.12 см²

Площа першого многокутника S₁ дорівнює -69.12 см², а площа другого многокутника S₂ дорівнює -1350 см². Зверніть увагу, що площі отримались від'ємними, що не можливо у фізичній реальності. Можливо, виникла помилка в обчисленнях або в умові задачі. Перевірте умову задачі та обчислення для точності.