Question

Точка C належить прямому куту BOA (між двома сторонами). Доведіть, що периметр трикутника ABC більший, ніж 2OC.

Answer 1

Для доведення даного твердження розглянемо трикутник ABC та точку C, яка належить прямому куту BOA між двома сторонами.

Спочатку розглянемо прямокутний трикутник OBC (див. малюнок нижче), де O - центр кола, а B і C - точки на колі:

markdownCopy code
   A
   |
   |
   C
   |\
   | \
   |  \
   |   \
   |    \
   |     \
   |      \
   |       \
   |        \
   |         \
   |          \
   |           \
   |            \
   |             \
   |              \
   |               \
   |                \
   |                 \
   |                  \
   |                   \
   |                    \
   |                     \
   |                      \
   |                       \
   |                        \
   |                         \
   |                          \
   |                           \
   |                            \
   |____________________________\
   B               O

Знаючи, що BOA - прямий кут, ми знаємо, що кут BOA = 90 градусів.

Тепер розглянемо трикутник ABC. Оскільки кут BOA = 90 градусів, то кут BOC також дорівнює 90 градусів, оскільки він є внутрішнім кутом прямокутного трикутника OBC.

Тепер ми можемо використовувати теорему Піфагора для трикутника OBC:

OC^2 = OB^2 + BC^2

Тепер давайте подивимось на периметр трикутника ABC. Периметр дорівнює сумі довжин його сторін:

Периметр ABC = AB + BC + CA

Але ми бачили, що BOA - прямий кут, і кут BOC також дорівнює 90 градусів. Тому, знову використовуючи теорему Піфагора, ми можемо записати:

AB^2 + BC^2 = AC^2

Тепер можемо переписати периметр трикутника ABC:

Периметр ABC = AB + BC + CA = AC + BC

Ми бачимо, що AC + BC дорівнює діагоналі OC у прямокутному трикутнику OBC, а OC - це гіпотенуза цього трикутника, тобто OC дорівнює AC + BC.

Таким чином, ми показали, що периметр трикутника ABC дорівнює AC + BC, що в свою чергу дорівнює довжині гіпотенузи OC у прямокутному трикутнику OBC.

Оскільки гіпотенуза завжди більша за суму катетів у прямокутному трикутнику, то ми можемо стверджувати, що:

AC + BC > OC

Таким чином, периметр трикутника ABC більший, ніж 2OC.