Question

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2 дм и ее боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45. Найдите объем пирамиды.

Answer 1

Объем пирамиды равен одной трети произведения ее высоты на площадь основания.V=⅓ S∙h
Основание правильного шестиугольника состоит из шести правильных треугольников.
Площадь правильного треугольника находят по формуле:
S=(а²√3):4 S=4√3):4=√3 Площадь правильного шестиугольника в основании пирамиды:
S=6√3
Высоту найдем из прямоугольного треугольника АВО:  Так как ребро образует с с диагональю основания угол 60°, высота пирамиды ВО равна
H=ВО=2:ctg (60°)= 2·1/√3=2√3 Можно найти высоту и по т. Пифагора с тем же результатом.  V= 2√3∙6 √3:3=12 (кубических единиц) 

Answer 2

Для нахождения объема правильной шестиугольной пирамиды, нам понадобится формула:

V = (1/3) * A_base * h

Где: V - объем пирамиды A_base - площадь основания пирамиды h - высота пирамиды

Сначала найдем площадь основания пирамиды. Правильный шестиугольник можно разбить на 6 равносторонних треугольников, и каждый из этих треугольников будет равнобедренным, так как угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45 градусов.

Площадь равнобедренного треугольника можно найти по формуле:

A_triangle = (1/2) * a * b

Где: a - длина одного из равных оснований треугольника (в данном случае, это сторона основания пирамиды, равная 2 дм) b - длина боковой стороны треугольника (мы найдем ее, зная угол между боковой стороной и плоскостью основания и длину стороны основания)

Угол между боковой стороной и плоскостью основания равен 45 градусам, так что можно использовать тригонометрический метод для нахождения длины боковой стороны b:

b = a * tan(45°)

Теперь мы можем найти площадь одного треугольника:

A_triangle = (1/2) * 2 дм * (2 дм * tan(45°))

Теперь найдем общую площадь основания пирамиды, умножив площадь одного треугольника на количество таких треугольников (в данном случае, 6):

A_base = 6 * A_triangle

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды. Высота пирамиды может быть найдена с использованием теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике, где одна из сторон - это боковая сторона треугольника (длина b), другая - половина основания (1 дм), а гипотенуза - это высота пирамиды (h):

b^2 = (1/2)^2 + h^2

Решим это уравнение для h:

h = sqrt(b^2 - (1/2)^2)

Теперь мы можем найти объем пирамиды, используя формулу для объема:

V = (1/3) * A_base * h

Подставим значения:

V = (1/3) * (6 * A_triangle) * sqrt(b^2 - (1/2)^2)

Вычислим все значения и найдем объем пирамиды.