Question

Высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равна 6 см и делит гипотенузу на отрезки, один из которых больше другого на 5 см. Найдите стороны треугольника. В каком отношении данная высота делит площадь треугольника ? Решение пожалуйста!!!

Answer 1

Высота к гипотенузе --среднее геометрическое для отрезков гипотенузы, 
на которые высота разбивает гипотенузу)))
один отрезок -- (х)
другой отрезок -- (х+5)
6² = х*(х+5)
х² + 5х - 36 = 0
по т.Виета корни (-9) и (4)
х = 4 --один отрезок гипотенузы
4+5 = 9 --другой отрезок гипотенузы
гипотенуза = 13
катет --среднее геометрическое для гипотенузы и
проекции этого катета на гипотенузу)))
один катет = √(13*4) = 2√13
другой катет = √(13*9) = 3√13
отношение площадей подобных фигур = квадрату коэффициента подобия))
два получившихся прямоугольных треугольника подобны,
коэффициент подобия равен отношению гипотенуз (это пропорциональные стороны, т.к. они лежат против равных углов)))
Эта высота делит площадь в отношении 4/9

Answer 2

Давайте обозначим стороны прямоугольного треугольника следующим образом:

• Пусть гипотенуза равна $c$ см.
• Высота, проведенная из вершины прямого угла, равна $h = 6$ см.
• Один из отрезков, на которые высота делит гипотенузу, равен $x$ см.
• Второй отрезок на гипотенузе равен $(c - x)$ см.

У нас есть два условия:

1. Один отрезок больше другого на 5 см: $x = (c - x) + 5$.
2. Высота $h$ является высотой треугольника, поэтому она образует два подобных прямоугольных треугольника вместе с самим треугольником. Это означает, что отношение высоты к гипотенузе равно отношению меньшего отрезка к гипотенузе: $\frac{h}{c} = \frac{x}{c}$.

Теперь мы можем решить систему уравнений:

Из первого условия $x = (c - x) + 5$: $2x = c + 5$

Из второго условия $\frac{h}{c} = \frac{x}{c}$: $\frac{6}{c} = \frac{x}{c}$

Теперь мы можем решить первое уравнение относительно $x$: $2x = c + 5$ $x = \frac{c + 5}{2}$

Теперь подставим это значение $x$ во второе уравнение: $\frac{6}{c} = \frac{\frac{c + 5}{2}}{c}$

Умножим обе стороны на $2c$, чтобы избавиться от дробей: $12 = c + 5$

Теперь выразим $c$: $c = 12 - 5$ $c = 7$

Таким образом, гипотенуза равна 7 см. Теперь мы можем найти значение $x$: $x = \frac{c + 5}{2} = \frac{7 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Теперь мы знаем длины сторон треугольника:

• Гипотенуза $c = 7$ см.
• Один отрезок $x = 6$ см.
• Второй отрезок $(c - x) = (7 - 6) = 1$ см.

Отношение, в котором высота делит площадь треугольника, равно отношению катета к гипотенузе. В данном случае, это отношение равно $\frac{1}{7}$.