Question

Докажите , что диаметр окружности , проходящий через середину хорды , перпендикулярен хорде .

Answer 1

Доказательство:

Смотри прикреплённый рисунок.

АВ - диаметр окружности с центром в точке О.

СK = DK - половинки хорды CD.

К - точка пересечения АВ и CD

Соединим концы хорды С и D с центром  окружности О.

ΔСОК = Δ DOK по 3-му признаку (СK = DK по условию, ОС = ОD - радиусы окружности, ОК - общая сторона)

Следовательно, ∠СКО = ∠DKO.

Эти углы в сумме составляют развёрнутый ∠СКD = 180°

Следовательно, ∠СКО = ∠DKO = 0,5 ∠СКD = 0,5 · 180° = 90°.

Доказано, что ОК ⊥ CD.

Так как  ОК является частью диаметра АВ, то АВ ⊥ CD, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим окружность с центром O и хордой AB, проходящей через эту окружность. Пусть M - середина хорды AB, а D - точка пересечения диаметра, проходящего через M, с хордой AB (см. рисунок).

Теперь давайте рассмотрим треугольники OMA и OMD:

1. OA = OB (по определению окружности, радиусы равны)
2. OM = OM (очевидно, середина хорды)
3. ОD = 2 * OM (по определению диаметра, он вдвое длиннее радиуса)

Таким образом, у нас есть два равных треугольника OMA и OMD, в которых угол OMD прямой (90 градусов), так как OD - диаметр. Это означает, что угол OMA также прямой (по свойству прямых углов), и, следовательно, диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде.