Question

В прямоугольный треугольник вписана окружность с радиусом 4 см. Радиус делит гипотенузу на отрезки, длинна которых относится как 10:3. Найти стороны треугольника

Answer 1

См . рисунок в приложении
Пусть  ВМ=10х, АМ= 3х.
По свойству касательной к окружности, проведенной из одной точки,
АМ=АК=3х
ВМ=ВN=10x

АС=АК+КС=3х+4
ВС=ВN+NC=10x+4
АВ=103х=13х
По теореме Пифагора
АВ²=АС²+ВС²
(13х)²=(3х+4)²+(10х+4)²
169х²=9х²+24х+100х²+80х+16
15х²-26х-8=0
D=(-26)²-4·15·(-8)=676+480=1156=34²
x₁=(26+34)/30=2    x₂<0 и не удовлетворяет условию задачи

АС=3х+4=3·2+4=10
ВС=10x+4=10·2+4=24
АВ=13х=13·2=16
Ответ. 10 см, 24 см, 26 см

Answer 2

Давайте обозначим следующие величины:

Пусть $AB$ и $BC$ - это катеты прямоугольного треугольника, а $AC$ - гипотенуза.

Также обозначим центр окружности как точку $O$, и пусть $OD$ - это перпендикуляр от центра окружности к гипотенузе $AC$.

Теперь у нас есть следующие данные:

1. Радиус окружности $r = 4$ см.
2. Отношение $OD$ к $DO$ на гипотенузе $AC$ составляет 10:3. Пусть $OD = 10x$ и $DO = 3x$.

Сначала найдем длину гипотенузы $AC$. Она равна сумме $OD$ и $DO$, так как $OD$ и $DO$ - это две части гипотенузы $AC$:

$AC = OD + DO = 10x + 3x = 13x$

Теперь у нас есть выражение для длины гипотенузы $AC$.

Для нахождения катетов $AB$ и $BC$, мы можем использовать свойство прямоугольного треугольника, которое гласит, что произведение катетов равно произведению гипотенузы на радиус вписанной окружности:

$AB \cdot BC = AC \cdot r$

Подставим выражения для $AC$ и $r$:

$AB \cdot BC = (13x) \cdot (4) = 52x$

Теперь у нас есть выражение для произведения катетов $AB$ и $BC$.

Нам также дано, что отношение $AB$ к $BC$ равно 10:3:

$\frac{AB}{BC} = \frac{10}{3}$

Мы можем выразить одну из сторон через другую, например, $AB$ через $BC$:

$AB = \frac{10}{3} \cdot BC$

Теперь мы можем подставить это выражение в уравнение для произведения катетов:

$\frac{10}{3} \cdot BC \cdot BC = 52x$

Решим это уравнение для $BC$:

$BC^2 = \frac{3 \cdot 52x}{10} = 15.6x$

$BC = \sqrt{15.6x}$

Теперь мы знаем длину катета $BC$. Чтобы найти длину катета $AB$, мы можем использовать отношение:

$AB = \frac{10}{3} \cdot BC = \frac{10}{3} \cdot \sqrt{15.6x}$

Теперь у нас есть выражения для длин катетов $AB$ и $BC$ в зависимости от $x$.

Итак, мы нашли выражения для сторон треугольника:

$AB = \frac{10}{3} \cdot \sqrt{15.6x}$ $BC = \sqrt{15.6x}$ $AC = 13x$

Чтобы найти конкретные значения сторон треугольника, нам нужно знать значение $x$.