Question

В треугольнике ABC AB=BC. На медиане BE отмечена точка М. А на сторонах АВ и ВС - точки Р и К соответственно. (Точки Р, М и К не лежат на одной прямой) Известно что угол ВМР равен ВМК. Докажите что: а) углы ВРМ и ВКМ равны; б) прямые РК и ВМ взаимно перепендикулярны.

Answer 1

Это через подобность трикутников и закон Пифагора

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу шаг за шагом.

а) Докажем, что углы BРM и BKM равны.

Из условия известно, что угол BМР равен углу BМК. Теперь рассмотрим треугольники BРМ и BКМ. У нас есть два угла, которые равны в этих треугольниках: угол BМР и угол BМК. Кроме того, у нас есть общая сторона BM. Таким образом, по признаку угловой равенства у этих треугольников, мы можем заключить, что углы BРM и BКМ равны.

б) Докажем, что отрезки РК и ВМ взаимно перпендикулярны.

Известно, что BM - медиана треугольника ABC, и медиана пересекает сторону AC в точке O так, что AO = OC. Поскольку BО - медиана, то точка M делит ее пополам: MO = OB.

Теперь рассмотрим треугольники BРМ и BКМ. Мы уже доказали, что угол BРM и BКМ равны. Кроме того, у нас есть две равные стороны: MO = OB. Эти условия означают, что эти треугольники подобны по стороне-уголу-стороне (по признаку). Из этого следует, что угол MBР равен углу MBK.

Теперь обратим внимание на треугольник BРК. У нас есть два угла, которые равны: угол MBР и угол MBК (мы только что доказали это). Угол между двумя равными углами равен нулю. Следовательно, угол RKB равен нулю, что означает, что отрезки РК и ВМ перпендикулярны друг другу.

Таким образом, доказано, что углы BРМ и BКМ равны, и прямые РК и ВМ взаимно перпендикулярны.