Question

Точки Р, К, М и О -соответственно середины ребер А1С1,С1А1, АС и СВ треугольной призмы АВСА1В1С1. Докажите что плоскости МС1О и АРК параллельны.

Answer 1

В призме основания АВС и А1В1С1 равны, значит АС=А1С1.
АМ=МС, А1Р=РС1, значит МС=А1Р.
АА1С1С - параллелограмм, значит ∠АА1С1=∠АСС1.
АА1=СС1, МС=А1Р, ∠АА1С1=АСС1, значит тр-ки АА1Р и СС1М равны, значит АР=С1М., значит АРС1М - параллелограмм. АР║МС1.
В тр-ках АВС и А1В1С1 МО и РК - средние линии.
АВ║МО, А1В1║РК, АВ║А1В1, значит МО║РК.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

В плоскостях МС1О и АРК АР║МС1 и МО║РК, значит плоскости параллельны.
Доказано.

Answer 2

Для доказательства параллельности плоскостей МС1О и АРК, давайте воспользуемся свойствами средних перпендикуляров в треугольниках. Сначала заметим, что данная призма имеет следующий вид:

javascriptCopy code
     B1--------C1
    / |       / |
   /  |      /  |
 A1--B-----C--  |
  |   |     |   |
  |  A1-----B1- |
  | /       |  /
  |/        | /
 A--------C1

Где A, B, C - вершины основания призмы, A1, B1, C1 - соответственно вершины противолежащие вершинам A, B, C.

Сначала докажем, что плоскости АРК и МС1О параллельны, используя свойство средних перпендикуляров в треугольниках:

1. Рассмотрим треугольник АС1С. По свойству среднего перпендикуляра, отрезок РК будет перпендикулярен стороне АС1 и равен половине её длины.

2. Рассмотрим треугольник А1СО. Также по свойству среднего перпендикуляра, отрезок МО будет перпендикулярен стороне А1С и равен половине её длины.

Таким образом, у нас есть два перпендикулярных отрезка: РК и МО, которые находятся на одинаковом расстоянии от плоскости АС1С (половине её длины).

Теперь, так как отрезки РК и МО находятся на одинаковом расстоянии от плоскости АС1С, и плоскость АРК перпендикулярна отрезку РК, а плоскость МС1О перпендикулярна отрезку МО, то плоскости АРК и МС1О также параллельны друг другу.

Таким образом, мы доказали, что плоскости МС1О и АРК параллельны.